Aquí es Prob. 5, 6.2 Segundos, en el libro Introducción Al Análisis Real por Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, 4th edition:
Deje $a > b > 0$ y deje $n \in \mathbb{N}$ satisfacer $n \geq 2$. Demostrar que $a^{1/n} - b^{1/n} < (a-b)^{1/n}$. [Sugerencia: Muestre que $f(x) \colon= x^{1/n} - (x-1)^{1/n}$ es la disminución de $x \geq 1$, y evaluar $f$ a $1$ e $a/b$.]
Mi Intento:
Encontramos que para $x > 1$, $$ \begin{align} f^\prime(x) &= \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1} - \frac{1}{n}(x-1)^{\frac{1}{n} - 1} \\ &= \frac{1}{n} \left( \frac{x^{1/n}}{x} - \frac{(x-1)^{1/n}}{x-1} \right) \\ &= \frac{1}{nx(x-1)} \left( x^{1/n}(x-1) - x(x-1)^{1/n} \right) \\ &= \frac{x^{1/n}(x-1)^{1/n}}{nx(x-1)} \left( (x-1) - x \right) \\ &= -\frac{1}{nx^{1-\frac{1}{n}} (x-1)^{1-\frac{1}{n}} }. \end{align} $$
PS (basado en la respuesta de @auscrypt):
Encontramos que para $x > 1$, $$ \begin{align} f^\prime(x) &= \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1} - \frac{1}{n}(x-1)^{\frac{1}{n} - 1} \\ &= \frac{1}{n} \left( \frac{x^{1/n}}{x} - \frac{(x-1)^{1/n}}{x-1} \right) \\ &= \frac{1}{nx(x-1)} \left( x^{1/n}(x-1) - x(x-1)^{1/n} \right) \\ &= \frac{x^{1/n}(x-1)^{1/n}}{nx(x-1)} \left( (x-1)^{1-1/n} - x^{1-1/n} \right) \\ &< 0. \end{align} $$ debido a $1-1/n$ es positivo para todos los $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq 2$ y debido a $0 < x-1< x$, lo que implica que $$ 0 < (x-1)^{1-1/n} < x^{1-1/n},$$ y por lo tanto $$ (x-1)^{1-1/n} - x^{1-1/n} < 0.$$
Por lo tanto $f^\prime(x) < 0$ para todos los $x > 1$. Por lo tanto, la función de $f$ es estrictamente decreciente en el intervalo de $[1, +\infty)$. Esto es, para cualquier $x > 1$ tenemos $f(x) < f(1)$.
Ahora si $a > b > 0$, a continuación, $a/b > 1$, y así tenemos $$ f(a/b) < f(1),$$ es decir, $$ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}} - \left(\frac{a}{b} - 1\right)^{\frac{1}{n}} < 1,$$ lo que equivale a $$ \frac{a^{1/n} - (a-b)^{1/n} }{ b^{1/n} } < 1, $$ lo que implica $$ a^{1/n} - (a-b)^{1/n} < b^{1/n},$$ y por lo tanto $$ a^{1/n} - b^{1/n} < (a-b)^{1/n}, $$ como se requiere.
¿Hay algún problema con esta prueba?
