Puede momentum un complejo expectativa de valor?

Question

Estoy haciendo algunos ejemplos de funciones de onda para incorporar en un QM examen.

Se me ocurrió la siguiente función de onda, lo que me da algunos problemas: $$\psi(x,0) = \begin{cases} A(a-x), & -a \leq x \leq a\\ 0& \text{otherwise} \end{casos}$$ Esto es, básicamente, una rápida modificación de problema 1.17 de Griffiths, 2da edición, que pensé que haría las cosas más fáciles para el primer problema del examen.

Después de la habitual normalización de $A$, lo que dará $A=\sqrt{\frac{3}{8a^3}}$, quiero, a continuación, pídales a los estudiantes que calcular la expectativa de los valores de $x$, $p$, $x^2$ y $p^2$, y, a continuación, compruebe el principio de incertidumbre. Esto es donde la cosa se complica ...

Llego $\langle x\rangle = -\frac{a}{2}$ $\langle x^2\rangle = \frac{2a^2}{5}$ fácilmente.

Para el impulso a pesar de que, obtengo $\langle p\rangle = -\frac{3i\hbar}{4a}$ ... un número complejo? ¿Cómo es eso posible? ¿Qué significa eso? Estoy haciendo algo mal en el cálculo? Me pregunto si es debido a la forma de la función en $x=-a$ $x=a$...

Answer 1

La función de onda tiene una discontinuidad en $x=-a$, lo que da un plazo $-2aA i \hbar \delta(x+a)$ cuando actúas con $p$. La contribución de esta a la expectativa de valor de impulso exactamente cancela el imaginario valor que se ha calculado.

Dos más puntos generales:

1. El impulso del operador es hermitian, lo que significa que su expectativa de valor debe ser real (siempre que la función de onda obedece a condiciones de contorno adecuadas, que el suyo).

2. Su función de onda es real, y por lo tanto tiene tiempo de reversión de la simetría. Esto implica que la expectativa de valor del impulso debe ser cero.

Answer 2

I) Uno de los problemas es que el impulso operador $\hat{p}$ es un unbounded operador, lo que significa que sólo está definida en un dominio $D(\hat{p}) \subsetneq {\cal H}$ del espacio de Hilbert ${\cal H}=L^2(\mathbb{R})$.

Cuando aplicamos el operador de diferenciación $\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$ a OP de la función de onda

$$\tag{1} \psi(x)~=~A(a-x)\theta(a-|x|), \qquad A>0, $$

tenemos un término proporcional a la distribución, cf. Stephen Powell respuesta, de modo que la imagen $\hat{p}\psi\notin{\cal H}$ está fuera del espacio de Hilbert ${\cal H}=L^2(\mathbb{R})$ de cuadrado integrable funciones. Dijo un poco más precisos, el problema es que el OP de la función de onda $\psi \notin D(\hat{p}) $ es no en el dominio $D(\hat{p})$ el impulso operador $\hat{p}$, por lo que el cálculo no hace sentido matemático, cf. respuesta y comentarios por Valter Moretti.

II) sin Embargo, aparte de los argumentos tradicionales sobre la expectativa de los valores de los operadores, se pueden realizar diversas no rigurosas heurística explícita cálculos que indican que el promedio de impulso $\langle p \rangle$ debe ser interpretado como cero:

$$\etiqueta{2} \langle p \rangle ~=~\frac{\manejadores }{i}\int_{\mathbb{R}} \! dx ~\psi(x)\psi^{\prime}(x) ~=~\frac{\manejadores }{2i}\int_{\mathbb{R}} \! dx \frac{d}{dx}\psi(x)^2~=~\frac{\manejadores }{2}\left[\psi(x)^2 \right)^{x=\infty}_{x=-\infty}~=~0,\qquad $$

o

$$\langle p \rangle~=~\frac{\hbar }{i}\int_{\mathbb{R}} \! dx ~\psi(x)\psi^{\prime}(x)~\stackrel{(1)}{=}~\frac{\hbar A^2}{i}\int_{\mathbb{R}} \! dx~ (a-x)\theta(a-|x|)\frac{d}{dx}\left\{ (a-x)\theta(a-|x|)\right\}$$ $$~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leibniz'}\\ \text{rule}\end{matrix}}{=}~\frac{\hbar A^2}{i}\int_{\mathbb{R}} \! dx~ (a-x)\theta(a-|x|)\left\{-\theta(a-|x|) - (a-x){\rm sgn}(x) \delta(a-|x|) \right\} $$ $$~=~\frac{\manejadores A^2}{i}\left\{\int_{-a}^\! dx~ (x-a) - \sum_{x=\pm a} (a-x)^2\theta(a-|x|){\rm sgn}(x) \right\} $$ $$\tag{3}~=~\frac{\hbar A^2}{i}\left\{ -2a^2+4a^2 \theta(0)-0\right\}~=~0. $$

En la última igualdad hemos asignado el valor de $\theta(0)=\frac{1}{2}$ a la función escalón unitario $\theta$, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

III) Se hace más mal definida para tratar de calcular $$\tag{4}\langle p^2 \rangle~=~\left(\frac{\hbar }{i}\right)^2\int_{\mathbb{R}} \! dx ~\psi^{\prime}(x)^2~=~\infty,$$ en parte debido a una plaza de la delta de Dirac distribución está mal definido, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Al menos el valor de $\infty$ en eq. (4) no entra en conflicto con la incertidumbre de Heisenberg relaciones!

Answer 3

Yo en lo sucesivo asuma $\hbar =1$.

No hay ninguna razón para introducir a los deltas de Dirac aquí, todo lo que es elemental. Además, como la función de $\psi$ no es diferenciable, uno no puede usar la forma del impulso operador $P$ derivado de que sólo es válido en las funciones lisas. Obligando de esta manera iba a presentar dificultades innecesarias, como la derivada debe ser interpretado en forma débil.

Rigurosamente hablando, si (como en el presente caso) $\psi \in L^2(\mathbb R, dx)$ también pertenece al dominio del impulso operador $D(P)$, tenemos $$(P \psi)(x) = F(K\hat{\psi})(x)$$ where $F$ is the inverse Fourier-Plancherel transform, $\hat{\psi}(k)$ is the Fourier-Plancherel transform of $\psi$ and $K$ is the multiplicative operator $(K\hat{\psi})(k):= k\hat{\psi}(k)$.

En particular, $\psi \in D(P)$ si y sólo si $\hat{\psi} \in D(K)$, lo que significa $$\psi \in D(P) \quad \mbox{if and only if} \quad \int_{\mathbb R} k^2 |\hat{\psi}(k)|^2 dk < +\infty\:.$$

Sin embargo, la existencia de $\langle P \rangle_\psi$ está garantizado por el más débil de la hipótesis. Es suficiente para tener $\psi \in D(\sqrt{|P|})$, lo que significa que $$\int_{\mathbb R} |k| |\hat{\psi}(k)|^2 dk < +\infty\:.\tag{1}$$ En este caso $$\langle P \rangle_\psi := \int_{\mathbb R} k |\hat{\psi}(k)|^2 dk\tag{2} $$ Usted ver que $\langle P\rangle_\psi$ es real siempre existe , ya que es la integral de una función real.

En el caso considerado, $$\hat{\psi}(k) = \frac{A}{\sqrt{2\pi}} \int_{-a}^a (a-x) e^{-ikx}dx= \frac{A}{\sqrt{2\pi}}\left(a + i\frac{d}{dk} \right) \int_{-a}^e^{-ikx}dx = \frac{2A}{\sqrt{2\pi}}\left(a + i\frac{d}{dk} \right) \frac{\sin(ka)}{k}\:. $$ Esta función es $L^2(\mathbb R, dk)$ como es debido. La condición (1) se lee $$\frac{2A}{\pi}\int_{\mathbb R}\left|\left(a + i\frac{d}{dk} \right) \frac{\sin(ka)}{k}\right|^2 |k| dk <+\infty$$ que es $$\frac{2A}{\pi}\int_{\mathbb R} \left[a^2 \frac{\sin^2(ka)}{|k|} + |k|\left(\frac{d}{dk} \frac{\sin(ka)}{k}\right)^2\right] dk <+\infty\:.$$ El integrando, la realización de trivial cálculos, resulta ser $$a^2\frac{\sin^2(ka) + \cos^2(ka) }{|k|} + \mbox{absolutely integrable terms}$$ es decir, $$a^2\frac{1}{|k|} + \mbox{absolutely integrable terms}$$ por lo tanto la condición (1) es violado debido a que la integral diverge evidentemente, y $\langle P\rangle_\psi$ no existe. $\langle P^2\rangle_\psi$ no existe de manera similar.

Answer 4

Así, se puede concluir que algo está mal por la siguiente lógica: el impulso es un observable, lo que significa que sus valores permitidos deben ser cosas que usted puede leer en un dispositivo de medición (suponiendo que había uno que las medidas de impulso). Estos son necesariamente verdaderos valores, y dado que la expectativa de valor es una cierta combinación lineal de mediciones posibles, también tiene que ser real. No hay manera de que usted puede conseguir un número complejo a partir de una combinación lineal de reales.

Pero pienso que la esencia de su pregunta es si usted debe estar buscando un math error, o si algo acerca de la forma de la función de onda que hayas elegido hace que este resultado sea válido. Hay, de hecho, algo mal con la función de onda: no es continuo.

Cuando se calcula el impulso, supongo que usted utiliza la integral $$\langle p\rangle = -i\hbar\int_{\infty}^{\infty}\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ \mathrm{d}x$$ y usted probablemente se rompió en pedazos correspondiente a las regiones en las que hemos definido la función: $$\begin{align} \langle p\rangle &= -i\hbar\int_{\infty}^{-a}\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ \mathrm{d}x - i\hbar\int_{-a}^{a}\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ \mathrm{d}x - i\hbar\int_{a}^{\infty}\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= -i\hbar(0) - i\hbar\int_{-a}^{a} A(a - x)(-A)\ \mathrm{d}x - i\hbar(0) \\ &= -\frac{3i\hbar}{4a} \end{align}$$ Pero esto ignora lo que sucede a la derivada en el punto donde la función de onda es discontinuo, es decir,$x = -a$. Estrictamente hablando, la derivada no está definida, y que hace que un punto en el que usted puede evaluar $\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$. Haciendo caso omiso de ese punto, usted viene para arriba con un resultado que carece de significado.

En la mecánica cuántica, podemos decir que wavefunctions tiene que ser continuo, por esta y otras razones. Mi recomendación es que usted abandonar este ejemplo y elegir un continuo de la función de onda.