Ecuación de reacción-difusión: ¿La monotonicidad espacial del dato inicial se conserva en el tiempo?

Question

Considere la ecuación escalar de reacción-difusión

$$u_t=u_{xx}+f(u), \qquad (x,t) \in\mathbb {R} \times [0, \infty )$$

con algo de no linealidad $f(u)$ . Esta es una pda parabólica semilínea.

Supongamos que para el dato inicial, $u_0(x):=u(x,0)$ tenemos un derivado espacial negativo, es decir. $\partial_x u_0( \cdot )<0$ para todos $x \in\mathbb {R}$ .

¿Implica esto ya que el derivado espacial se mantiene negativo para todos los tiempos, es decir. $$\partial_x u_0( \cdot )<0 \implies\partial_x u( \cdot ,t)~ \forall t>0?$$

Mi sensación es que $\partial_x u$ resuelve alguna ecuación parabólica lineal (¿pero cuál?) de modo que se podría aplicar algo como el principio máximo (fuerte) de las ecuaciones parabólicas lineales a $\partial_x u$ para responder a esta pregunta en forma afirmativa. Sin embargo, no puedo juntar las piezas y estaría agradecido de recibir ayuda.

Answer 1

Tu sentimiento es correcto. Puedes diferenciar la ecuación para obtener $\frac { \partial\varphi }{ \partial t}= \frac { \partial ^2 \varphi }{ \partial x^2}+f'(u) \varphi$ donde $\varphi$ denota $\frac { \partial u}{ \partial x}.$ Sin embargo, el principio máximo no es tan fácil de aplicar. Si se imagina el hipotético caso de que $\frac { \partial u}{ \partial x}$ es algo cualitativamente como $t-e^{-(x^2)}$ entonces $\frac { \partial u}{ \partial x}$ sería negativo inicialmente pero tendría puntos de positividad en todo momento futuro, y no hay ningún punto en el que se pueda aplicar el principio máximo, ya que la violación se produce en el infinito.

No es obvio para mí que debas esperar que la monotonicidad sea preservada. Me parece posible que $\varphi |_{t=0}$ podría ser negativo y decaer hacia el cero cerca del infinito, pero tienen regiones dispersas con $\varphi ''(x) \gg 1$ cerca del infinito; en estas regiones $\frac { \partial ^2 \varphi }{ \partial x^2}$ sería grande y $f'(u) \varphi$ sería pequeño, así que $\frac { \partial\varphi }{ \partial t}$ sería grande y posiblemente podría forzar $\varphi$ para ser positivo en tiempos futuros cercanos.

Creería que la monotonicidad se conserva si se asume a priori que hay algún decaimiento uniforme de la solución y algunos de sus derivados cerca del infinito. Estoy seguro de que tales suposiciones serían naturales en algunos contextos físicos.