¿Por qué este método es incorrecto?

Question

Un hombre se ejecuta en el tiempo aleatorio entre 00:00 y 01:00. El pelotón de fusilamiento de la precisión disminuye de manera lineal, por lo que a las 00:00 que disparar a la perfección, a las 00:30 de perder la mitad del tiempo, y a la 01:00 de miss siempre. También, con una probabilidad de 1/2, un espacio en blanco de la ronda de disparos será usa.

Dado que el hombre sobrevivió, ¿cuál es la probabilidad de que se enfrentó a un viven todo?

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Al principio me dibujó un diagrama con el tiempo en el eje x, una línea horizontal en $y=1/2$ con "ciega ronda" por encima de él y "vivir la ronda" a continuación. Luego dividí que baja de la región con una diagonal para representar la caída de la exactitud, y la respuesta es $\frac{1}{4} / (\frac{1}{4}+\frac{1}{2}) = \frac{1}{3}$ que una simulación parece confirmar.

No estoy seguro de por qué el método siguiente da una respuesta incorrecta: a tiempo $\theta$, $P_\theta (\text{survived})=\theta/2 + 1/2$ e $P_\theta(\text{live rounds and survived}) = \theta/2$. Por lo tanto, $P_\theta(\text{live rounds | survived}) = \frac{\theta}{\theta+1}$. Ahora se integran para obtener $\int_0^1 P_\theta d\theta = \int_0^1 \frac{d\theta . \theta}{\theta+1} = 1-\log 2 \approx 0.3069$.

Answer 1

Esto es similar a la pregunta, "hace $\displaystyle \int \frac{f(x)}{g(x)} dx= \frac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}?$ " La respuesta es no, y esto resolverá su problema. Sabemos que la probabilidad de sobrevivir dado que enfrentó rondas en blanco es la probabilidad de que ambos estén divididos por la probabilidad de sobrevivir. Entonces, la expresión que realmente estamos buscando aquí es $$p = \frac{\int_0^1 (\theta/2)d\theta}{\int_0^1 (\theta/2 + 1/2)d \theta}=\frac{1/2}{1 + 1/2} = \boxed{1/3}.$ $

Answer 2

La respuesta por @paulinho es excelente, pero he aquí otra manera de explicar por qué su segunda respuesta es incorrecta.

Deje $L=$ vivir rondas, y $S =$ sobrevivir. Voy a utilizar $P()$ de probabilidad de y $p()$ pdf.

Su ${\theta \over \theta + 1} = P(L | \theta, S)$. Así que si usted integran $\int_0^1 {\theta \over \theta + 1}\; d\theta = \int_0^1 P(L | \theta, S)\; d \theta$, desde el $\theta$ es de tiempo, usted está asumiendo que cada momento es igualmente probable. Sin embargo, cuando condicionada a la supervivencia, cada momento es no igualmente probables!

Usted necesita algo parecido a la pdf de $\theta$, condicionado a $S$, se muestra en rojo a continuación:

• $P(L|S) = \int_0^1 p(L, \theta | S)\; d \theta = \int_0^1 P(L | \theta, S) \color{red}{p(\theta | S)}\; d \theta$

Francamente, la búsqueda de $p(\theta | S)$ requiere básicamente la solución de todo el problema, así que esto no es una buena forma de proceder. Lugar:

• $p(L, \theta | S) = p(L, \theta, S) / P(S)$

• $p(L, \theta, S) = \theta / 2$

• Así, $P(L|S) = \int_0^1 {\theta / 2 \over P(S)} \; d\theta = {\int_0^1 (\theta /2) d\theta \over P(S)}$ y volver a tener la respuesta por @paulinho