¿Es una variedad diferenciable de Hausdorff?

Question

Las dos páginas anteriores son de la geometría riemanniana de Carmo.

Según la definición 2.1 y la observación 2.3, ¿es una variedad diferenciable de Hausdorff?

Answer 1

Como se señaló en littleO comentario, $M$ no es un espacio topológico, pero sólo un conjunto. ¿Cómo podemos definir un razonable topología en $M$? Sin duda queremos que todos los $U_\alpha$ están abiertas en $M$ y que todos los $x_\alpha : U_\alpha \to x_\alpha(U_\alpha)$ son homeomorphisms. Así que vamos a considerar el conjunto $\mathcal{B}$ de todos los $V_\alpha = x_\alpha(U_\alpha) \subset M$. Tiene las siguientes propiedades:

(1) Para cada $x \in M$ existe $V_\alpha \in \mathcal{B}$ tal que $x \in V_\alpha$.

(2) Para cualquiera de los dos $V_\alpha,V_\beta \in \mathcal{B}$ y cualquier $x \in V_\alpha \cap V_\beta$ existe $V_\gamma \in \mathcal{B}$ tal que $x \in V_\gamma \subset V_\alpha \cap V_\beta$. De hecho, incluso tenemos $V_\alpha \cap V_\beta \in \mathcal{B}$. Esto se deduce de (2).

Ahora es un hecho bien conocido que existe una única topología en $M$ tener $\mathcal{B}$ como base. Por definición, el $V_\alpha$ están abiertas en $M$. Por otra parte, la $x_\alpha : U_\alpha \to V_\alpha$ son homeomorphisms. De hecho, para cada una de las $U \subset U_\alpha$ la restricción de $x_\alpha$ a $U$ es un bijection $U \to x_\alpha(U)$ y por (3) pertenece a la familia de la inyectiva asignaciones.

No hay ninguna razón por qué esta topología debe ser Hausdorff. No Hausdorff ejemplo es la línea con dos orígenes. Ver Nate Eldredge del comentario y de La Línea con dos orígenes y https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Hausdorff_manifold.

Answer 2

Como otros han señalado aquí, que es común a empezar por la definición de M para ser un espacio topológico y, a continuación, definir una suave estructura en la parte superior de esta. Como otros han señalado, do Carmo se inicia sólo con un conjunto; como nota histórica, esta de la siguiente manera (por ejemplo) de Whitney en su famoso Ann. De matemáticas. papel "Diferenciable colectores", a partir de 1936 (probablemente una de las primeras referencias suave de los colectores). Desde esta perspectiva, es bueno si uno quiere ver una suave estructura como un mero refinamiento de la noción topológica (colector) de la estructura, y no como algo que constitucionalmente diferentes.

(y estoy de acuerdo con las otras respuestas que decir "no" a la pregunta principal. De acuerdo a las definiciones estándar, esta es una definición de un atlas diferenciable, no de una variedad diferenciable)

Answer 3

Lamentablemente, do Carmo es descuidado aquí. Él no asume colectores para ser Hausdorff (y 2ª contables). En la Proposición 2.10 (Capítulo 1) se menciona específicamente Hausdorff y 2º contables como hipótesis la existencia de una métrica de Riemann. A continuación, en el Capítulo 7, "demuestra" que cada conectado de Riemann colector es metrizable sin asumir Hausdorffness, que es, por supuesto, absurdo. Mi opinión sobre todo esto, es que de local cálculos se trate, en do Carmo (y en general) Hausdorfness no es necesario, pero tan pronto como usted trata de lidiar con una declaración general, usted debe asumir que los colectores son Hausdorff. Mi preferencia personal es asumir Hausdorfness desde el principio.