Dejemos que $X, Y : \mathbb{C}^\text{op} \to \mathbf{Set}$ , donde $\mathbb{C}$ es una categoría pequeña, y asumir la transformación natural $\alpha : X \to Y$ es un monomorfismo. Si $Y$ se separa con respecto a una cobertura en $\mathbb{C}$ , entonces es $X$ ¿se separan necesariamente (con respecto a la misma cobertura)?
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La transformación natural $\alpha$ es un monomorfismo precisamente cuando todos sus componentes son inyecciones. Así podemos ver $X$ como una simple sub-hoja de $Y$ . Es decir, para cada objeto $C$ en $\mathbb{C}$ tenemos $X(C) \subseteq Y(C)$ y $\alpha_C$ es sólo esta inclusión.
No sé qué definición de separado utilizas precisamente, pero dado que hablas de una "cobertura" supongo que es la que enlaza con una topología de Grothendieck. Para que quede claro, permíteme recordar la definición aquí:
Una hoja de cálculo $X$ es separado (con respecto a una topología fija de Grothendieck) si se cumple lo siguiente: para cada objeto $C$ en $\mathbb{C}$ y todos $x, y \in X(C)$ si el tamiz $\{f: C' \to C \mid X(f)(x) = X(f)(y)\}$ está cubriendo, entonces $x = y$ .
Supongamos ahora que $Y$ se separa. Sea $x, y \in X(C)$ tal que $S = \{f: C' \to C \mid X(f)(x) = X(f)(y)\}$ está cubriendo. Entonces, porque $X(C) \subseteq Y(C)$ tenemos que $x,y \in Y(C)$ . Desde $S$ está cubriendo para $C$ y $Y$ se separa concluimos que $x = y$ y así vemos que efectivamente $X$ se separa.
Derek Elkins
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Otra forma de definir las gavillas que me parece elegante es la siguiente: $Y$ es una gavilla (con respecto a una cobertura dada) si y sólo si para cada tamiz de cobertura $S$ en $U$ representado como un subfunctor de $\mathsf{Hom}(-,U)$ tenemos $y\mapsto(f\mapsto Y(f)(y)):Y(U)\to\mathsf{Nat}(S,Y)$ es un isomorfismo. Aquí, $\mathsf{Nat}(S,Y)$ es el conjunto de transformaciones naturales de $S$ a $Y$ . $Y$ es una preforma separada si ésta es sólo un monomorfismo.
Dado que $Y$ se separa y $\alpha$ es un mono, entonces también lo es $x\mapsto(f\mapsto Y(f)(\alpha_U(x))):X(U)\to\mathsf{Nat}(S,Y)$ por cada $U$ y $S$ cubriendo $U$ porque es una composición de monomorfismos. La naturalidad de $\alpha$ afirma que $Y(f)\circ\alpha_U=\alpha_V\circ X(f)$ En otras palabras $$x\mapsto(f\mapsto Y(f)(\alpha_U(x))) = x\mapsto(f\mapsto \alpha(X(f)(x)))$$ Esto significa que $x\mapsto(f\mapsto X(f)(x))$ es un mono, ya que se factoriza a través de un mono mediante la postcomposición de un mono.
