¿Cómo derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi para el área de una superficie mínima en una variedad de Riemann?

Question

La acción de una cadena en este fondo $$G_{IJ}\tag{1}$$ puede ser escrito como la Nambu-Goto acción

$$S_{NG}=\int d\sigma^1d\sigma^2\sqrt{g}\quad\quad\Rightarrow\quad\mathcal{L}=\sqrt{g}\tag{2}$$

donde la inducida por dos dimensiones métrica es

$$g_{ab}=G_{IJ}\partial_aX^I\partial_bX^J.\tag{3}$$

Esta acción representa el worldsheet área de la cadena, una de dos dimensiones de Riemann colector. Esta área es mínima si la de Euler-Lagrange las ecuaciones están satisfechos, pero también si una ecuación equivalente a su satisfacción: la de Hamilton-Jacobi ecuación, que tiene esta forma (véase la nota de pie de página en la página 13 en Drukker)

$$G^{IJ}\left(\frac{\delta S}{\delta X^I}\right)\left(\frac{\delta S}{\delta X^J}\right)=G_{MN}\partial_1X^{M}\partial_1X^{N}\tag{4}$$

(en esta forma), donde $$\partial_a=\frac{\partial}{\partial\sigma^a}\,,\quad\sigma=1,2.\tag{5}$$

Sé que el de Hamilton-Jacobi ecuación es

$$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(\frac{\partial S}{\partial x},x\right)=0.\tag{6}$$

Cómo este expresiones se traduce en la anterior?

EDITAR:

Déjame mostrarte lo que tengo. A partir de (2) y la expresión del determinante

$$g=\frac{1}{2}\varepsilon^{ab}\varepsilon^{cd}g_{ac}g_{bd}\tag{7}$$

$$ P_I^a=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_aX^I}=\frac{1}{\sqrt{g}}\varepsilon^{ab}\varepsilon^{cd}\partial_cX^JG_{IJ}g_{bd}\tag{8}$$

a la derecha?

Entonces

$$\mathcal{H}=P_I^a\partial_aX^I-\mathcal{L}\tag{9}=\sqrt{g}.$$

por qué no es cero?

EDIT 2

Vamos a empezar con una acción equivalente, Polyakov

$$S_P=\frac{1}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{ab}\partial_aX^I\partial_bX^JG_{IJ}.\tag{10}$$

El impulso es

$$P_I^a=\frac{\partial\mathcal{L}_P}{\partial\partial_aX^I}=\sqrt{-h}h^{ab}\partial_bX^JG_{IJ}.\tag{11}$$

Escojamos

$$h_{ab}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,\quad\quad\Rightarrow\sqrt {h}=1.\la etiqueta{12}$$

El Hamiltoniano es entonces,

$$\mathcal{H}_P=\frac{1}{2}\int d^2\sigma h_{ab}P^a_IP^b_JG^{IJ}.\tag{13}$$

Debido a la invariancia reparametrization

$$h_{ab}P^a_IP^b_JG^{IJ}=0,\tag{14}$$

o

$$G^{IJ}P_I^\sigma P_J^\sigma=\partial_\tau X^I\partial_\tau X^JG_{IJ}.\tag{15}$$

Es esto correcto?

Answer 1

1. Puesto que suponemos que la meta-espacio (TS) métrico $G_{IJ}$ , que no depende explícitamente en el mundo-de la hoja (WS) coordina $(\tau,\sigma)$, la de Hamilton-Jacobi (HJ) ecuación es el tiempo independiente de la formulación $$H(x, \frac{\partial W}{\partial x})~=~E\tag{A}$$ en términos de la función característica de Hamilton $W$ más que Hamilton principal función de $S$. Porque de WS reparametrization invariancia, la rhs. $E=0$ de las HITLERJUGEND la ecuación (a) se desvanece, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

2. De hecho, debido a WS reparametrization invariancia, la transformación de Legendre de la Nambu-Goto (NG) de la acción es singular. Nos encontramos con 2 principales limitaciones $$ \frac{1}{2T_0}P^2\mp \frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~=~0 \qquad\text{and}\qquad P\cdot X^{\prime} ~=~0, \tag{B}$$ cf. por ejemplo, este Phys.SE post. [Aquí la $\mp$ signo corresponde a la Euclídea (Minkowskian) TS firma, respectivamente. Tenga en cuenta que el TS métrica induce un WS métrica de la misma$^1$ firma. Las restricciones (B) como alternativa, se puede deducir a partir de la equivalente de Polyakov acción, cf. mi Phys.SE respuesta aquí y enlaces en el mismo.] El HJ teoría no suele ser desarrolladas de forma sistemática para sistemas limitados, pero podemos ver $$ \frac{1}{2T_0}\left(\frac{\delta W}{\delta X}\right)^2\mp\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~=~0 \qquad\text{and}\qquad \frac{\delta W}{\delta X}\cdot X^{\prime} ~=~0 \tag{C}$$ el análogo de la HJ ecuación/ecuación eikonal. La primera igualdad en la ecuación. (C) corresponde a OP eq. (4). En La Ref. 1 el límite de la WS es una Wilson-bucle parametrizadas por $\tau$.

3. Respecto OP densidad Hamiltoniana (9): tenga en cuenta que OP $a$-índice debe, por definición, sólo será temporal WS índice, no espacial WS índice. A continuación, la densidad Hamiltoniana (9) de hecho, se desvanece. En particular, uno no suma más de la $a$-índice de aquí. En eq. (11) OP es la introducción de polymomenta a la De Donder & Weyl. Existe un problema similar con OP eq. (13).

Referencias:

1. N. Drukker, D. J. Gross & H. Ooguri, Wilson Bucles y las Superficies Mínimas, arXiv:hep-th/9904191.

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$^1$ Eq. (12) es incompatible con el OP de Riemann TS firma.