Buscar el límite si .

Question

Encuentra el límite $$\lim _{n \to \infty}(n!)^{{\frac{1}{n^2}}}$ $

Lo he intentado utilizando la aproximación de Stirling y luego utilizando la Regla de L'Hospital y obtengo la respuesta $1$

¿Hay algún otro método fácil para encontrar este límite?

Cualquier sugerencia. Gracias por adelantado.

Answer 1

Simplemente puede exprimirlo: $$ 1 \ leq (n!) ^ {1 / n ^ 2} \ leq (n ^ n) ^ {1 / n ^ 2} = n ^ {1 / n} \ a 1. $$ Entonces $\lim_{n\to\infty} (n!)^{1/n^2}=1$ .

Answer 2

Deje $L=({n!})^{\frac{1}{n^2}}$

$L=e^\frac{\log_{e}{n!}}{n^2}=e^\frac{\sum_{i=1}^{n}{\log(i)}}{n^2}$

Ahora $0\leq\frac{\sum_{i=1}^{n}{\log(i)}}{n^2}\leq \frac{n\log(n)}{n^2}=\frac{\log(n)}{n}$ que tiende a $0$ como $n$ tiende a $\infty$ . Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\log(i)}}{n^2}} = 0$ .

$\lim\limits_{n \to \infty}{L} = e^{\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\log(i)}}{n^2}}}=e^0=1$

Answer 3

Permitir que $$y=\lim _{n \to \infty}\Large(n!)^{\large {\frac{1}{n^2}}}$ $ por lo tanto $$\ln y=\lim _{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{r=0}^{n-1}\ln(n-r)$ $ $$\ln y=\lim _{n \to \infty}\frac{\ln n}{n^2} - \frac1{n}\sum_{r=0}^{n-1}\frac1n\ln(1-\frac{r}{n})$ $ $$\ln y=0- \lim _{n \to \infty}\frac1{n}\int_{0}^{1}\ln(1-x)dx$ $ $$\ln y=0- \lim _{n \to \infty}\frac1{n}(-1)$ $ $$\ln y=0- 0$ $ $$y=e^0=\boxed{1}$ $

Answer 4

Usando el teorema de Stolz – Cesàro :

\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln (n!)}{n^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln ((n+1)!) - \ln(n!)}{(n+1)^2 - n^2} = \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln (n+1)}{2n+1} = \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln(n+2) - \ln (n+1)}{(2n+3) - (2n+1)} = \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{n+1})}{2} = 0\end {align} Entonces $$ \lim_{n\rightarrow\infty} (n!)^{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow\infty} e^{ \frac{\ln (n!)}{n^2}} = e^0 = 1$ $

Answer 5

$$(n!)^{\frac{1}{n^2}} \le (n^n)^{\frac{1}{n^2}}=n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln n}{n}}$ $ Desde $$1 \le (n!)^{\frac{1}{n^2}} \le e^{\frac{\ln n}{n}}$$ and $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} e ^ {\ frac {\ ln n} {n}} = 1$ then by squeeze theorem there is a limit $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} (n!) ^ {\ frac {1} {n ^ 2}} = 1 $