Derivada de la integral doble

Question

Estoy tratando de averiguar cuál es el derivado $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)$ de la función

$$f(x)=\int_0^{x^2}\left(\int_{a-x}^{a+x}\sin(a^2+b^2-x^2)\,\mathrm db\right)\mathrm da$$

es. Usando la regla de Leibniz dos veces, obtengo

$$f'(x)=-2x\int_0^{x^2}\left(\int_{a-x}^{a+x}\cos(a^2+b^2-x^2)\,\mathrm db\right)\mathrm da+2\int_0^{x^2}\cos(2a^2)\sin(2ax)\,\mathrm da+2x\int_{x^2-x}^{x^2+x}\sin(x^4-x^2+b^2)\,\mathrm db.$$

Esto no parece tener una expresión analítica.

¿Hay alguna simetría que no haya visto, o hay un enfoque mejor que la regla de Leibniz para resolver esto?

Answer 1

$$f(x)=\int_0^{x^2}\left(\int_{a-x}^{a+x}\sin(a^2+b^2-x^2)\,\mathrm db\right)\mathrm da$$ Tal vez la mejor manera de empezar algo como esto dejando: $$g(x,a)=\int_{a-x}^{a+x}\sin(a^2+b^2-x^2)db$$ para que tengamos nuestro problema en la forma: $$f(x)=\int_0^{x^2}g(x,a)da$$ De esto obtenemos: $$f'(x)=2x\,g(x,x^2)+\int_0^{x^2}\partial_xg(x,a)da\tag{1}$$ Ahora queremos calcular lo que esta derivada de $g(x,a)$ es: $$\partial_xg(x,a)=\frac{d}{dx}\int_{a-x}^{a+x}\sin(a^2+b^2-x^2)db$$ donde: $$h(x,b)=\sin(a^2+b^2-x^2)\tag{2}$$ continuando desde aquí obtenemos: $$\partial_xg(x,a)=h(x,a+x)+h(x,a-x)+\int_{a-x}^{a+x}\partial_xh(x,b)db\tag{3}$$ Ahora tenemos que calcular este derviativo de $h(x,b):$ $$\partial_xh(x,b)=\partial_x\sin(a^2+b^2-x^2)=-2x\cos(a^2+b^2-x^2)\tag{4}$$ Ahora subiendo $(4)$ en $(3)$ nos encontramos con que: $$\partial_xg(x,a)=h(x,a+x)+h(x,a-x)+\int_{a-x}^{a+x}-2x\cos(a^2+b^2-x^2)db$$ Ahora podemos subponer esto en $(1)$ para conseguirlo: $$f'(x)=2x\,g(x,x^2)+\int_0^{x^2}h(x,a+x)da+\int_0^{x^2}h(x,a-x)da-2x{\int_0^{x^2}\int_{a-x}^{a+x}\cos(a^2+b^2-x^2)dbda}\tag{5}$$ A continuación, la sustitución de la espalda $h$ y $g$ debería darle la respuesta correcta