Calcular las siguientes derivadas
$$\frac{d}{dt}\iint_{D_t}F(x,y,t) \, \mathrm d x \mathrm d y$$
donde
$$D_t = \lbrace (x,y) \mid (x-t)^2+(y-t)^2\leq r^2 \rbrace$$
He leído aquí que la respuesta a la pregunta anterior es en la forma de: \begin{align}\frac{d}{dt}\iint_{D_t}F(x,y,t)dxdy &=\int_{\partial D_t} F(udy-vdx) + \iint_{D_t}\frac{\partial F}{\partial t}dx dy \\ &=\iint_{D_t}\left[\text{div}(F\mathbf{v})+\frac{\partial F}{\partial t}\right]dx dy\end{align} que es una generalización de Leibniz integral de la regla.
No sé cómo puedo calcular el $\mathbf{v}$ e $\mathbf{n}$ o $u$ e $v$ en mi problema. El documento señala que $\mathbf{v}$ con componentes de $u$ e $v$ es la velocidad y la $\mathbf{n}$ es el vector normal.
También, yo estaría muy agradecido si alguien pudiera introducir algunas otras referencias sobre la derivada de tales integrales dobles para mí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su dominio $D_t$ es bastante simple, usted debería ser capaz de calcular lo que usted necesita. Pero también por la forma simple se puede usar un simple cambio de variables $$ \frac{d}{d t} \iint_{D_{t}} F(x, y, t) d x d y= \frac{d}{d t}\iint_{D_0} F(x+t,y+t,t)dxdy = \iint_{D_0} \frac{d}{d t}(F(x+t,y+t,t))dxdy= \iint_{D_0} (\partial_xF+\partial_yF+\partial_t F)(x+t,y+t,t)dxdy = \iint_{D_t}\partial_xF+\partial_yF+\partial_t Fdxdy. $$
Esta fórmula podría ser llamado la Formula de Transporte de Reynolds. El gran libro de Bertozzi y Majda, Vorticidad y de Flujo Incompresible(Google Libros) en la página 5 de la declaración y la prueba. Voy a esbozar lo $\mathbf v$ es, y a continuación, el esquema de la prueba de este libro, pero tal vez el libro de Un Primer Curso en el Continuum de la Mecánica(Amazon) por Gonzales y Stuart será más suave (un primer indicio de esto es que te sugiero que leer de la página 137, en lugar de la página 5...)
Supongamos $F=(\mathbf x,t)$ es suficientemente suave función de $\mathbf x \in \mathbb R^n,t\in\mathbb R$. La velocidad actuando sobre las partículas, $\mathbf v(\mathbf X,t) \in \mathbb R^n$ mueve $\mathbf x_0 \in \mathbb R^n$ hasta el punto de $\mathbf X=\mathbf X(t,\mathbf x_0) \in \mathbb R^n$ a través de la partícula-trayectoria de la educación a distancia, $$\begin{cases} \frac{d}{dt}{\mathbf X} = \mathbf v(\mathbf X,t),\\ \mathbf X(0,\mathbf x_0) = \mathbf x_0.\end{cases}$$ Aplicando esto a cada punto en $D_0$, tenemos $D_t = \mathbf X(t,D_0) = \{ \mathbf X(t,\mathbf x_0) : \mathbf x_0 \in D_0\}$.
En su caso, se observa que la $D_t $ es la imagen en la traducción de $D_0$ por $t\binom{1}{1}$. Por lo tanto, $\mathbf v = \binom{1}{1}$ es en realidad constante.
Para probar la fórmula en el caso general, aplicar un cambio de variables para escribir la integral como una integral sobre las posiciones iniciales de las partículas $\mathbf x_0 = \mathbf X(t,\cdot)^{-1}(\mathbf x)$. Esto le da $$ \iint_{D_t} F(\mathbf x,t) d\mathbf x = \iint_{D_0} F(\mathbf X(t,\mathbf x_0),t) J d\mathbf x_0 , $$ donde $J=J(t,\mathbf x_0)$ es el determinante Jacobiano $J d\mathbf x_0 = d\mathbf x$, $$ J(t,\mathbf x_0) = \det (\nabla \mathbf X(t,\mathbf x_0))=\det (\nabla_{\mathbf x_0} \mathbf X(t,\mathbf x_0)).$$
Tomando el gradiente en $\mathbf x_0$ de las partículas con la trayectoria de la educación a distancia da
$$\begin{cases} \frac{d}{dt}{\nabla \mathbf X} = \nabla \mathbf v(\mathbf X,t)\nabla \mathbf X ,\\ \nabla \mathbf X(0,\mathbf x_0) = I .\end{cases}$$
Por Jacobi de la fórmula(página de la Wikipedia),
$$ \frac{d}{d t} \operatorname{det} A(t)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A(t)) \frac{d A(t)}{d t}\right),$$
deducimos (el uso de $\operatorname{tr}(ABC)= \operatorname{tr}(BCA)$ e $(\operatorname{adj} A) A = \det A$)
$$\frac{dJ}{dt} = \operatorname{tr}(\nabla \mathbf v(\mathbf X,t))J = \nabla\cdot\mathbf v(\mathbf X,t) J. $$
Empujando la derivada en la integral sin preocuparse, a continuación, aplicar la regla de la cadena y la regla del producto da el resultado, ya que
$$\frac{d}{dt} \Big( F(\mathbf X,t) J \Big)
=
\nabla F(\mathbf X,t)\cdot \frac{d}{dt} \mathbf X J + (\partial_t F)(\mathbf X,t)J + F(\mathbf X,t) \frac{d}{dt} J = \Big ( \nabla F(\mathbf X,t) \cdot \mathbf v(X,t) + (\partial_t F)(\mathbf X,t)+ F(\mathbf X,t) \nabla\cdot \mathbf v(\mathbf X,t) \Big) J. $$
Por supuesto, en el caso de que esto simplifica en gran medida a que el resultado me calculadas primero, desde su $\mathbf v$ es incompresible con $J\equiv 1$.
(De hecho, esta fórmula justifica el nombre de "incompresible": en el caso especial $F\equiv 1$, muestra que $\nabla \cdot \mathbf v = 0$ si el volumen de $D_t$ es constante en $t$.)
