Curvatura y torsión de una curva esférica

Question

Intento demostrar que si $\alpha$ es una curva regular parametrizada por la longitud de arco cuyo rango se encuentra en la esfera unitaria centrada en el origen, entonces $\kappa (s) = \sqrt{1+j^2}$ y $\tau (s) = \dfrac{j'(s)}{1+j^2(s)}$

donde $j(s)=\det[\alpha (s), \alpha '(s), \alpha ''(s)]$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Obsérvese que $\alpha$ está parametrizada por la longitud del arco, tenemos $T=\alpha'$ y $\alpha'' = \kappa N$ . Entonces $\alpha = aT+bN+cB$ para algunos $a,b,c$ . Sin embargo, tenga en cuenta que $a=0$ ya que $\alpha$ tiene longitud unitaria, por lo que el vector tangente es siempre ortogonal a $\alpha$ . Así $\alpha = bN+cB$ con $b^2+c^2=1$ . Entonces podemos diferenciar y aplicar las fórmulas Frenet-Serret para obtener $$\alpha' = (-\kappa b)T +(b' -\tau c)N + (c'+\tau b)B = T,$$ por lo que obtenemos las ecuaciones $$1=-\kappa b,\quad b'=\tau c,\,\,\text{ and }\,\,c' = -\tau b.$$

Entonces tomando el determinante $$\det (\alpha,\alpha', \alpha'') = \det(\alpha,T,\kappa N) = \kappa c \det(B,T,N) = \kappa c.$$

Observe que $1=1^2=\kappa^2b^2$ y $j^2 =\kappa^2 c^2$ Así que $$1+j^2 = \kappa^2(b^2+c^2)=\kappa^2,$$ así que $\kappa = \sqrt{1+j^2}.$

En cuanto a $\tau$ Obsérvese que $$c = \frac{j}{\sqrt{1+j^2}}.$$ Diferenciando, obtenemos $$c' = j'\frac{\sqrt{1+j^2}-j^2/\sqrt{1+j^2}}{1+j^2}= \frac{j'\kappa(1- c^2)}{1+j^2} = \frac{j'\kappa b^2}{1+j^2}.$$

Entonces recordando las ecuaciones que derivamos antes, $\kappa b = -1$ , $c'=-\tau b$ obtenemos $$-\tau b = -\frac{j'b}{1+j^2},$$ así que $$\tau = \frac{j'}{1+j^2},$$ como desee.