Evaluar $\int \frac{1}{x^{7} - x} ~ d{x} $ .

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente integral indefinida? $$ \int \frac{1}{x^{7} - x} ~ d{x}. $$ ¿Podría alguien aconsejarme sobre el método que debo utilizar o los pasos que debo dar?

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Nota: El PO pidió originalmente ayuda para evaluar $ \displaystyle \int \left( \frac{1}{x^{7}} - x \right) ~ d{x} $ que puede no haber sido su intención real.

Answer 1

Hay un truco. Tenemos $$\frac{1}{x^7-x}=\frac{7x^6}{x^7-x} -\frac{7x^6-1}{x^7-x}.$$

La primera función es $\dfrac{7x^5}{x^6-1}$ . Para integrar, hay una sustitución obvia.

Para la segunda función, ya hay una sustitución obvia.

Se pueden inventar muchos ejemplos que ceden al mismo tipo de truco.

Answer 2

$\displaystyle \int\frac{1}{x^7-x}dx = \int\frac{1}{x^7.\left(1-\frac{1}{x^6}\right)}dx$

Poner $\displaystyle \left(1-\frac{1}{x^6}\right) = t$ y $\displaystyle \frac{6}{x^7}dx = dt$

$\displaystyle = \frac{1}{6}\int\frac{1}{t}dt = \frac{1}{6}\ln \mid t \mid+C$

$\displaystyle = \frac{1}{6}\ln \left|\frac{x^6-1}{x^6}\right|+C$

Answer 3

Factorizar el denom en $x{(x^3-1)}(x^{3}+1)$ y hacer un u-sub $x^{3}+1=u$ y será fácil.