¿Por qué hemos de definir el concepto de continuidad originalmente, y por qué es definido de la manera que es?

Question

El concepto de continuidad es una idea muy importante en la topología. Aunque yo estoy usando todo el tiempo, pero en realidad no sé cuál es el propósito original para definir este concepto. Y yo tampoco entiendo por qué hemos de definir la continuidad en la topología como si $V$ es un conjunto abierto en $Y$, $f^{-1}(V)$ es un conjunto abierto en $X$

Answer 1

La continuidad tiene una historia antes de la topología. Pregúntate a ti mismo cómo definir una función continua $\mathbb R \to \mathbb R$ - tal vez uno que usted puede dibujar la gráfica de sin tomar su lápiz fuera del papel.

Lo que hace que sea continua? Así uno de los candidatos fue el valor intermedio de la propiedad. Entonces, la gente descubrió patológico de las funciones de la línea $\sin \frac 1x$ cerca de $x=0$ - o para una función que toma todos los valores reales en el intervalo (y, en consecuencia, tiene el valor intermedio de la propiedad) pero de ninguna manera es continua probar la extraordinaria Conway base 13 de la función.

Luego, en la métrica de contexto, epsilon-delta se desarrollaron definiciones. Pero la cosa sobre el dibujo de la curva con un lápiz perdí, porque la mayoría de las funciones continuas $\mathbb R \to \mathbb R$ no tienen definida la longitud del arco. Diferenciable y suave funciones que asumió el cargo, ya que eran las que las personas tratadas con más frecuencia.

Si desea ver otro desafío para la formalización de las matemáticas de esta manera, la investigación de la historia de la Jordania de la Curva de Teorema.

La idea de la continuidad desarrollado en la topología de la elaboración de los dos está íntimamente vinculado de una manera de pensar acerca de la topología de formalizarla como lo que usted consigue cuando la continuidad es el concepto más importante que usted tiene. Ahora que está exagerando un poco, porque la mayoría de los objetos topológicos de interés han más estructura que eso. Pero que, a mi modo de ver, es la razón por la topología y la continuidad de ir juntos.

En cuanto a por qué continuidad se define como es ... la Topología se ocupa de abrir sets. La continuidad se refiere con funciones. Lo que ocurre es que la "imagen inversa de un conjunto abierto en virtud de una función es abrir" coincide con los mejores intuiciones que nos había de continuidad antes de que nos abstrae de una métrica contexto.

Answer 2

La continuidad fue identificado originalmente como una propiedad importante de las funciones de variables reales, mucho antes de la invención de la topología. Por ejemplo, el teorema del valor intermedio dice que una función $f$ alcanza cada valor en un intervalo de $[f(a), f(b)]$ -, pero sólo si $f$ es continua en a $[a,b]$. Una aplicación importante de esto es encontrar las raíces de ecuaciones que son demasiado difíciles de resolver simbólicamente. Si $f(a) < 0$ $f(b) > 0$ sabemos que debe haber una raíz en $(a,b)$, y se puede encontrar, subdividiendo el intervalo-pero sólo si $f$ es continua en a $(a,b)$.

Del mismo modo, como pgadey dice en otros lugares, funciones continuas son aquellas que pueden ser aproximados, que es crucial para la obtención de soluciones numéricas aproximadas a problemas de la física y la ingeniería.

El análisis fue desarrollado originalmente para el estudio de la convergencia y aproximación propiedades de las funciones y secuencias, preguntas como "qué funciones puede ser aproximada por la potencia de la serie?" y "¿mi serie de Fourier suma a la función correcta?"

La topología es una abstracción de las ideas de continuidad y convergencia que ya existían en el análisis, creado para el estudio de estas ideas con más cuidado y en diferentes contextos. Abierta en General los conjuntos son una abstracción de las propiedades de abrir intervalos en la recta real. En la línea, dos conjuntos son considerados como "distante" si están contenidas dentro de los distintos intervalos abiertos. En la topología de reemplazar esta noción de distancia con una participación abierta de los conjuntos. En la línea real de una función es continua si se lleva los puntos que están "cerca" en el dominio de los puntos que están "cerca" en el codominio; puntos "lejos" en el codominio debe ser imágenes de los puntos de "lejos" en el dominio. La topología de la reformulación de la noción de cercanía en términos de abrir conjuntos: los puntos que estaban en distintos bloques abiertos ("lo suficientemente lejos") en el codominio debe estar en distintos bloques abiertos ("lo suficientemente lejos") en el dominio.

La continuidad es importante en la topología, ya que fue importante en la resolución de problemas numéricos en la física y la ingeniería, y por esta razón topología fue inventado para entender mejor la continuidad.

Answer 3

Las dos razones principales por las que se define la continuidad, en mi humilde opinión, son como sigue:

1. La continuidad hace las funciones de domar. Intentar demostrar una proposición acerca de funciones arbitrarias entre espacios topológicos. Usted no será capaz de llegar a cualquier lugar. La mayoría de los espacios topológicos nos ocupamos son tan grandes que las funciones entre ellas puede comportarse de formas silvestres. Si no los obligó a respetar algún tipo de estructura que viene de la topología, usted no será capaz de probar cualquier cosa acerca de ellos. Si la fuerza de las funciones de `respeto "topología" por ser continua, entonces usted va a obtener teoremas tales como: Compacto conjuntos de mapa para compactar los conjuntos de bajo continuo mapas.

2. En la métrica de los espacios de continuidad permite aproximado. El estándar $\epsilon\delta$-definición de continuidad permite aproximar el valor de una función continua. Dice: "Si me das una función continua, un punto de base, y un término de error, entonces me voy a dar una serie en torno a su punto de partida, donde su función es cercano al valor que toma en el punto de base." La aproximación es lo suficientemente bueno para la mayoría de propósitos, y esto permite que usted para hablar acerca de los límites.

Una manera de racionalizar la elección de la definición de continuidad en espacios topológicos arbitrarios es que la definición que hemos elegido se especializa en el $\epsilon\delta$-definición de métricas espacios. Hay algunas razones más profundas, pero creo que es un buen lugar para empezar.

Answer 4

La idea de un punto de cierre expresa cuando un punto está "cerca" de un conjunto. Y aquí estoy usando "cerrar" de manera más flexible que en tan sólo un espacio métrico con la distancia.

La idea de la continua mapas es que preserven los puntos de cierre. A lo que me refiero es que la imagen de un punto límite es un punto de cierre de la imagen. Así, continuo puntos no "desgaste" puntos de distancia de los conjuntos que están cerca.

Vaya por delante y comprobar que la inversa de la definición de la imagen de la continuidad es equivalente a "la función conserva todos los puntos de cierre."

Answer 5

Cuando un concepto se define, hay un sinfín de interpretaciones de este concepto, algunos de ellos son extremadamente útiles cuando se trabaja en problemas de Física, pero los demás son mejores cuando se trabaja en la Geometría... El núcleo de la Topología reside en el concepto de límite de punto de un conjunto, por medio de un proceso empírico de la generalización de llegar a la hoy conocida definición de la topología. Usted debe pensar de una función continua que transformar el límite de puntos de un conjunto en el límite de puntos de la imagen de ese conjunto, esto es el hecho de que se trata el concepto de continuidad se materializan...