Tengo el siguiente problema:
Deje $X \subset \mathbb{A}^3$ que no contiene una línea vertical y deje $g \in K[x,y]$ tal que $g$ no tiene doble factor y el clousure de la proyección de la $X$ sobre el plano $z=0$ es igual a $\mathcal{V}(g)$, el cero-locus de $g$ en $\mathbb{A}^2$. Deje $h(x,y,z) = \sum_{i=0}^l g_i(x,y)z^i$ ser el polinomio en el $\mathcal{I}(X)$ con el menor grado en $z$ posible. Entonces
- Si $f \in \mathcal{I}(X)$ grado $m$ en $z$ ($m \geq l$), demostrar que $$g_l^m f = hu + v$$ para algunos $u(x,y,z)$ e $v(x,y)$ con $g|v$.
- Deducir que $\mathcal{V}(h,g) = X \cup \mathcal{V}(g_l,g)$ son ahora vistos como $g_l,g \in K[x,y,z]$.
- Demostrar que cada una de las curvas en $\mathbb{A}^3$ es es cero, el locus de $3$ polinomios.
Yo no tengo ningún problema con 1., pero con el 2. Estoy atascado demostrando que $\mathcal{V}(g_l,g) \subset \mathcal{V}(h)$ y con 3. No tengo ideas. He intentado de todo pero nada funciona, alguien puede healp mí?
Una fácil consecuencia de esto es que cada curva en $\mathbb{P}^3$ es el cero locus conjunto de $3$ polinomios homogéneos.
Yo sé que no existe $g$ e $h$ por otro tipo de ejercicio y, por supuesto, $K$ es algebraicamente cerrado.
He decidido añadir el ejercicio que he mencionado anteriormente, porque a lo mejor es relevante.
Deje $X \subset \mathbb{A}^3$ una curva (no necesariamente irreducible) que no contiene una línea vertical.
- Mostrar que existe un polinomio no constante $g \in K[x,y]$ tal que $g = \mathcal{I}(X)$.
- Deducir thet existe un director ideal en $K[x,y]$, radical, cuyo cero-locus conjunto es el cierre de la proyección de la $X$ sobre el plano $z = 0$.
