¿Funciona?

Question

Estoy tratando de evaluar $$J(n)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm dx}{\cosh(x)^n}=2\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm dx}{\cosh(x)^n}$$ para $n\in\Bbb N$. Empecé con $t=\tanh\frac{x}2$: $$J(n)=4\int_0^1\frac{(1-t^2)^{n-1}}{(1+t^2)^n}\mathrm dt$$ luego he usado el teorema del binomio para obtener $$J(n)=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\int_0^1\frac{t^{2k}}{(1+t^2)^n}\mathrm dt$$ Luego usé $t=\tan x$: $$J(n)=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\int_0^{\pi/4}\frac{\tan(x)^{2k}}{\sec(x)^{2n}}\sec(x)^2\mathrm dx$$ $$J(n)=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\int_0^{\pi/4}\sin(x)^{2k}(1-\sin(x)^2)^{n-k-1}\mathrm dx$$ Entonces yo uso la fórmula binominal de nuevo: $$J(n)=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\int_0^{\pi/4}\sin(x)^{2k}\sum_{r=0}^{n-k-1}(-1)^r {n-k-1\choose r}\sin(x)^{2r}\mathrm dx$$ $$J(n)=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\sum_{r=0}^{n-k-1}(-1)^r {n-k-1\choose r}\int_0^{\pi/4}\sin(x)^{2k+2r}\mathrm dx$$ Luego usé $u=2x$: $$J(n)=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\sum_{r=0}^{n-k-1}(-1)^r {n-k-1\choose r}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1-\cos u}2\right)^{k+r}\mathrm du$$ Sí, lo has adivinado, he utilizado el binomio de la fórmula siguiente: $$J(n)=2\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{r=0}^{n-k-1}\frac{(-1)^{k+r}}{2^{k+r}}{n-1\choose k}{n-k-1\choose r}\sum_{v=0}^{k+r}(-1)^v{k+r\choose v}\int_0^{\pi/2}\cos(x)^{v(k+r)}\mathrm dx$$ Esta última integral se calcula fácilmente con la función beta, y hemos $$J(n)=\sqrt{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{r=0}^{n-k-1}\sum_{v=0}^{k+r}\frac{(-1)^{k+r+v}}{2^{k+r}}{n-1\choose k}{n-k-1\choose r}{k+r\choose v}\frac{\Gamma\left(\frac{v(k+r)+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{v(k+r)}2+1\right)}$$ Es esto correcto? ¿Hay algún otro (preferiblemente más rápido) manera de calcular esto?

Answer 1

De una forma más rápida, sustituto $e^x = \tan(\theta/2)$ obtener

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{\cosh^n x} = \int_{0}^{\pi} \sin^{n-1}\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}. $$

El segundo paso de la siguiente manera a partir de la función beta de la identidad, aunque de un modo mucho más elemental solución también está disponible.

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Para su cálculo, se cometió un error cuando la expansión de la integral de coseno de energía. Específicamente, la expansión correcta sería

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 - \cos u}{2} \right)^{k+r} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2^{k+r}} \sum_{v=0}^{k+r} (-1)^v \binom{k+r}{v} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^v u \, \mathrm{d}u. $$

Comparar esto con su expansión

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 - \cos u}{2} \right)^{k+r} \, \mathrm{d}u \stackrel{?}= \frac{1}{2^{k+r}} \sum_{v=0}^{k+r} (-1)^v \binom{k+r}{v} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \color{red}{\boxed{\cos^{v(k+r)} u}} \, \mathrm{d}u. $$

Answer 2

$$J(n)=2\int_0^\infty \frac{dx}{\cosh^n(x)}$$Using the sub: $ u = \ frac {1} {\ cosh (x)}$ $ dx = \ frac {-du} {u \ sqrt {1-u ^ 2}} $ , es fácil convertir la integral en la @Zacky proporcionada en los comentarios. $$J(n)=2\int_0^1 \frac{u^{n-1}}{\sqrt{1-u^2}}du$$ From there we can make another sub $ u = \ sqrt {x}$, $ du = \ frac {dx} {2 \ sqrt {x}} $ . PS