Me han interesado en limitado a las relaciones entre los simples cíclico sumas con la participación de tres positivo de las variables. Por simple, me refiero a lo simples que son también totalmente simétrica. Los "bloques de construcción" de las restricciones y las relaciones que he estado mirando son: $$ \sum_{\mbox{cyc}} 1 \equiv 3 \\ \sum_{\mbox{cyc}} a \\ \sum_{\mbox{cyc}} ab \\ \sum_{\mbox{cyc}} a^2 \\ \sum_{\mbox{cyc}} 1/\\ \sum_{\mbox{cyc}} abc \equiv 3abc \\ $$ Para un fácil ejemplo sería que $$\frac{\sum_{\mbox{cyc}} abc}{\sum_{\mbox{cyc}} a^2} \leq 1$$
La primera muy difícil que yo he encontrado es:
Si $a$, $b$ y $c$ son positivos y $a+b+c=3$, muestran que: $$a^2+b^2+c^2 \leq (27-15\sqrt{3})\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$
Llegué a este tratando de probar que si $a+b+c=3$ entonces $a^2+b^2+c^2 \leq 1/a+1/b+1/c$; que resulta ser falso, pero sólo un poco ($27-15\sqrt{3}\approx 1.019)$.
Usted puede mostrar este uso de BW, pero tengo la esperanza de encontrar algo más fácil de seguir.
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La relación máxima es $(27-15\sqrt{3})$ y se produce en
$$
\left(a = \sqrt{3}, b=c= \frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)
$$
y en los otros dos permutaciones cíclicas de ese punto.
