Derivación de la desigualdad absoluta.

Question

He estado tratando de demostrar una desigualdad que no estoy siquiera seguro de si es cierto o no. Sin embargo, yo estoy experimentando grandes dificultades con esta prueba. Tengo la intuición de que es cierto y han estado tratando de obtener, pero sin ningún éxito. Aquí es la siguiente configuración:

$0 < x \leq y $

$0 < a \leq b $

De esto estoy tratando de obtener lo siguiente:

$|y-b|+|x-a| \leq |y-a| + |x-b|$

He tratado de "ingeniería inversa" y tratando de volver a una declaración que ser fácilmente derivados de la puesta en marcha inicial, pero sin éxito. Después de esto he intentado jugar con el triángulo de las desigualdades, pero terminó haciendo pasos recursivos en mis intentos de solución.

La desigualdad no es al azar, sino una especie de "intuición" viene de que si sumamos la diferencia de los números más pequeños (x,a) la diferencia de los números más grandes (y,b) entonces esto va a ser menor que si sólo nos par de ellos, de la otra manera (y,a) y (x,b). Por supuesto, esta intuición de que podría estar equivocado.

¿Alguien sabe si esto es verdad, y ¿cómo iba yo a trabajar para demostrarlo?

Answer 1

Para probar / refutar$|y-b|+|x-a| \leq |y-a| + |x-b|$, consideraremos 6 casos.

Estos son los casos:

$$x\le y\le a\le b$$$$ x \ le a \ le y \ le b$$$$a\le x\le y\le b$$$$ a \ le x \ le b \ le y$$$ $x\le a\le b\le y$$$$ a \ le b \ le x \ le y $$

Para el caso 1,

$|y-b|+|x-a|=b-y+a-x=(b-x)+(a-y)\le|y-a|+|x-b|$.

Para el caso 2,

$|y-b|+|x-a|=b-y+a-x=(b-x)+(a-y)=(b-x)-(y-a)\\=(b-x)-|y-a|\le|x-b|+|y-a|$.

Puede probar el caso 3-6 por su cuenta.

Answer 2

Insinuación:

$t\mapsto |t|$ es convexo, por lo que la desigualdad de Karamata le permite concluir desde$(y-a, x-b)\succ (y-b, x-a)$.

Answer 3

La ecuación $$ D((x, y), (x_0, y_0)) = \lvert x - x_0 \rvert + \lvert y - y_0 \rvert = C $$ define un diamante $D$ con diagonal de longitud de $2C$ centrado alrededor de $(x_0, y_0)$.

La imagen que da de los diamantes, centrado alrededor de $(1,2)$ e $(2,1)$ para $C=1$ e $C = 2$. Los centros están reflejados a lo largo de la identidad de la función $y = x$.

• La condición de $0 < x \le y$ restringe $(x,y)$ a todos los puntos de o por encima de identificación, para los positivos $x$.

• La condición de $0 < a \le b$ restringe el centro de la $(a,b)$ de la primera diamante de la región así.

Su desigualdad

$|y-b|+|x-a| \leq |y-a| + |x-b|$

puede ser enunciada como $$ D((x,y),(a, b)) \le D((x,y),(b, a)) \quad (*) $$

Si $D$ se interpreta como una distancia, indica que alguien en $(x,y)$ es más cercano a la centro de la $(a, b)$ que el espejo de centro $(b,a)$ o a la misma distancia a ambos.

Esto se mantiene en el área considerada.