Cómo mostrar$e^{2 \pi i \theta}$ no es algebraico.

Question

Me preguntaba si alguien podría ayudarme a averiguar cómo mostrar$e^{2 \pi i \theta}$ no es algebraico cuando$\theta$ es irracional.

¡Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que como se indica el resultado no es correcto. Por ejemplo, hay un número real$t$ tal que$\cos(2\pi t)$ es igual a$\dfrac{3}{5}$, y se puede mostrar que$t$ no es racional. Pero si$\theta$ es un número algebraico irracional, de hecho,$e^{2\pi i\theta}$ es trascendental.

Answer 2

Utilice el teorema de Lindemann-Weierstrass

http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem