¿El pdf, el pmf y el cdf contienen la misma información?
Para mí, el pdf da la probabilidad completa hasta cierto punto (básicamente el área bajo la probabilidad).
El pmf da la probabilidad de un punto específico.
El cdf da la probabilidad debajo de un punto específico.
Por lo tanto, para mí el pdf y el cdf tienen la misma información, pero el pmf no porque da la probabilidad para un punto x en la distribución.
Donde se hace una distinción entre función de probabilidad y densidad*, la función de masa de probabilidad se aplica solo a variables aleatorias discretas, mientras que la función de densidad de probabilidad se aplica a variables aleatorias continuas.
* los enfoques formales pueden abarcar ambos y usar un solo término para ellos
La función de distribución acumulada se aplica a cualquier variable aleatoria, incluidas aquellas que no tienen ni función de densidad ni función de masa de probabilidad
(como una distribución mixta - por ejemplo, considera la cantidad de lluvia en un día, o la cantidad de dinero pagado en reclamaciones de una póliza de seguro de propiedad, cualquiera de las cuales podría ser modelada por una distribución continua inflada con ceros).
La función de distribución acumulada para una variable aleatoria $X$ da $P(X\leq x)$
La función de masa de probabilidad para una variable aleatoria discreta $X$, da $P(X=x)$.
La función de densidad de probabilidad no da probabilidades en sí misma, sino probabilidades relativas; las distribuciones continuas no tienen probabilidades puntuales. Para obtener probabilidades a partir de funciones de densidad de probabilidad, necesitas integrar sobre algún intervalo, o tomar la diferencia de dos valores de función de distribución acumulada.
Es difícil responder a la pregunta '¿contienen la misma información?' porque depende de lo que quieras decir. Puedes pasar de función de densidad de probabilidad a función de distribución acumulada (a través de la integración), y de función de masa de probabilidad a función de distribución acumulada (a través de la suma), y de función de distribución acumulada a función de densidad de probabilidad (a través de la diferenciación) y de función de distribución acumulada a función de masa de probabilidad (a través de la diferencia), por lo que cuando tienes una función de masa de probabilidad o una función de densidad de probabilidad, contiene la misma información que la función de distribución acumulada (pero de una manera 'codificada' de forma diferente).
Glen, ¿podrías ayudar proporcionando alguna referencia donde pueda leer acerca de "pdf dando probabilidades relativas"? Es muy interesante y no recuerdo haberlo visto en mis libros. Gracias.
@Alecos Simplemente es una explicación (quizás mal redactada) del hecho de que mientras $f(x)$ no es una probabilidad, dado que $f(x)\,dx$ es la probabilidad de estar en $(x,x+dx)$, entonces $f(x)/g(x)$ puede ser considerado como la proporción de la probabilidad de que una variable con densidad $f$ esté dentro de una distancia muy pequeña de $x$ a la proporción de que una variable con densidad $g$ esté en el mismo intervalo. En ese sentido expresa la 'probabilidad relativa'.
Las PMFs están asociadas con variables aleatorias discretas, las PDFs con variables aleatorias continuas. Para cualquier tipo de variable aleatoria, la FDP siempre existe (y es única), definida como $$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$$ Ahora bien, dependiendo del conjunto de soporte de la variable aleatoria $X$, la densidad (o función de masa) puede que no exista. (Considere el Conjunto de Cantor y Función de Cantor, el conjunto está definido recursivamente eliminando el centro de 1/3 del intervalo unitario, luego repitiendo el procedimiento para los intervalos (0, 1/3) y (2/3, 1), etc. La función se define como $C(x) = x$, si $x$ está en el conjunto de Cantor, y el límite inferior más grande en el conjunto de Cantor si $x$ no es un miembro.) La Función de Cantor es una función de distribución perfectamente válida, si se agrega $C(x)= 0$ si $x < 0$ y $C(x) = 1$ si $1 < x$. Pero esta función de distribución acumulada no tiene densidad: $C(x)$ es continua en todo lugar pero su derivada es casi cero en todas partes. No hay densidad con respecto a ninguna medida útil.
Entonces, la respuesta a tu pregunta es, si una densidad o función de masa existe, entonces es una derivada de la FDP con respecto a alguna medida. En ese sentido, llevan la misma información. PERO, las PDFs y PMFs no tienen que existir. Las FDPs deben existir.
Dennis, ¿puedes aclarar lo que quieres decir con la frase "Sin densidad con respecto a ninguna medida en absoluto"? Ciertamente tiene una densidad (¡uniforme!) con respecto a sí mismo.
@cardinal: Lo intentaré, pero no sé si tendrá sentido a menos que hayas estudiado algo de análisis real. Si miras algunos libros antiguos sobre estadística matemática (por ejemplo, Estadística Matemática de Freund), verás que las PMF se refieren como "densidades". El nombre "densidad" está justificado por la medida de probabilidad $\mu$ en el espacio medible $(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$ que es la base de la FDC (ver comentario de Joel). La densidad es la derivada de Radon-Nikodym de $\mu$ con respecto a alguna medida (generalmente medida de Lesbesgue o medida de conteo). En este caso, $C(x)$ no tiene derivada de R-N.
Las otras respuestas apuntan al hecho de que las CDF son fundamentales y deben existir, mientras que las PDF y PMF no son necesariamente existentes.
Esto me confundió e intrigó (siendo no estadístico), ya que no sabía cómo interpretar una CDF (o cómo podría existir) cuando el espacio muestral no estaba ordenado; piensa, por ejemplo, en el círculo $S^1$.
Me parece que la respuesta es que la función fundamental es la medida de probabilidad, que mapea cada subconjunto (considerado) del espacio muestral a una probabilidad. Luego, cuando existen, la CDF, PDF y PMF surgen de la medida de probabilidad.
La forma en que lo he visto, la mayoría de los libros de texto definen "variable aleatoria" como una correspondencia de un espacio muestral a los números reales. Esencialmente, una "variable aleatoria" es de valores reales.
Usamos variables aleatorias para entrar en el espacio de probabilidad $(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$ y alejarnos de $(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$. $\Omega$ puede o no estar bien ordenado, y eso lo hace complicado de tratar. Supongo que tienes razón en que $\mu$ es más fundamental: después de todo, $$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(o) \leq x\}.$$ Pero es difícil hacer mucho interesante con el espacio de medida abstracto. Además, mis estudiantes ya tienen suficientes problemas con PxFs y CDFs. No me interesa intentar enseñarles teoría de la medida.
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