Hay una pregunta con la que estoy teniendo dificultades. Por favor, ayúdame a encontrar el coeficiente de$x^8$ en el polinomio$$(x-1)(x-2)(x-3)........(x-10)$ $. Ni siquiera sé cómo empezar, pero creo que está relacionado con el teorema del binomio, pero nuevamente no hay poderes aquí. Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.
Respuestas
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El coeficiente de $x^8$ de % de $\prod_{k=1}^{10}(x-k)$ está dado por $$\sum_{1\leq j<k\leq 10}kj=\frac{1}{2}\left(\left(\sum_{k=1}^{10}k\right)^2-\sum_{k=1}^{10}k^2\right)= \frac{1}{2}\left(55^2-385\right)=1320.$$ Véase también el de las fórmulas de Vieta.
En otras palabras, aquí el coeficiente de $x^8$ está dada por la suma de todos los productos de dos números en $\{1,2,..,10\}$. Esta suma puede ser obtenida por el cuadrado de $(1+2+3+\dots+10)$ y, a continuación, tirando todos los cuadrados $1,4,\dots, 100$. El resultado debe ser dividido por 2 (que son el doble de los productos).
yoyostein
Puntos
1500
En primer lugar, vemos cómo obtener los poderes de $x^8$ a través del método tradicional de "la expansión de fuera".
Para obtener los poderes de $x^8$, que en realidad se multiplican 8 $x$'s junto con dos números, por ejemplo,
$x\dots x\cdot (-2)(-3)=6x^8$
Para esto se reduce a encontrar todas las sumas de los productos de dos números, es decir,$1\times 2+1\times3+\dots+9\times 10$.
Primero nos enteramos de qué es $1(2)+1(3)+1(4)+\dots+1(10)$. Sin duda, es 54. Otra manera de escribir es $(1+2+\dots+10)-1=54$
A continuación, encontramos el producto de dos números, que contienen 2, es decir: $2(2)+2(3)+2(4)+\dots+2(10)$. Esto es $2(1+3+\dots+10)=2(1+2+\dots+10)-2^2$.
El acceso directo a esta es observar que la suma es en realidad:
$(1+2+\dots+10)(1+2+\dots+10)-(1^2+2^2+\dots+10^2)=55(55)-385=2640$
Tenga en cuenta que tenemos el doble de contado: por ejemplo, " $1\times 2$ e $2\times 1$ se cuentan dos veces.
Así, dividiendo por 2 da 1320 como se desee.
