Dejemos que $f:R\to R$ sea un isomorfismo de anillo y $M$ es un $R-$ módulo. Definir $*:R\times M\to M$ mapas $(r,m)$ a $r*m=f(r)m$ . Entonces con este producto escalar, $M$ es un $R-$ módulo, a saber $M^f$ . Mi pregunta es, ¿son $M$ y $M^f$ siempre es isomorfo, no puedo demostrarlo.
Respuestas
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He aquí un ejemplo muy sencillo:
$\mathbb Z$ es un $\mathbb Z[x]$ -módulo a través de $f \cdot c := f(0)c$
Consideremos ahora el isomorfismo $\phi: \mathbb Z[x] \to \mathbb Z[x], x \mapsto x+1$ .
Sólo hay dos isomorfismos de grupos abelianos $\mathbb Z \to \mathbb Z$ (multiplicación con $\pm 1$ ) y es fácil ver que ambos no se comportan bien con las dos estructuras de los módulos.
De ahí que los dos $\mathbb Z[x]$ -no son isomorfos.
Algunos detalles:
Dejemos que $h: \mathbb Z \to \mathbb Z$ sea la multiplicación con $\pm 1$ . Tenemos
$$h(x \cdot c) = h(0c)=h(0)=0,$$ pero $$x * h(c) = (x+1) \cdot h(c) = h(c)= \pm c.$$
DavveK
Puntos
53
No, no son isomorfos en general.
Dejemos que $C_3$ sea el grupo cíclico de orden $3$ y que $x$ ser un generador fijo para ello. Esto tiene un automorfismo de grupo que intercambia $x$ y $x^{-1}$ que se extiende a un automorfismo de anillo del álgebra de grupo $\mathbb{C}[C_3]$ . Tomemos esto como nuestro $f$ .
Ahora para $M$ tomemos el $1$ representación compleja dimensional de $C_3$ donde $x$ actos de $e^{2\pi i/3}$ . La versión retorcida $M^f$ sigue siendo una representación unidimensional, pero esta vez es la que $x$ actos de $e^{4\pi i/3}$ . En particular, estas representaciones tienen caracteres diferentes y no son isomorfas.
