Si$g\in C^1([0,1],\mathbb{R})$, muestra$\lim_{x\to+\infty }\int_0^1x^ndg(x)=0$

Question

Supongamos que$g:[0,1]\to\mathbb R$ es tal que$g\in C^1$ (es decir,$g'$ existe y es continuo). Quiero mostrar$$\lim_{n\to+\infty }\int_0^1x^ndg(x)=0.$ $ Gracias.

Answer 1

Esto es trivial por el teorema de convergencia dominado por Lebesgue.

Y bastante sencillo como sigue. Deje que$M$ sea el máximo de$|g'|$ en$[0,1]$. Luego $$ | \ int_0 ^ 1x ^ ng '(x) dx | \ leq M \ int_0 ^ 1 x ^ ndx = \ frac {M} {n + 1}. $$ Concluir por el teorema del apretón.

Answer 2

Usamos esto que produce$$\lim_{n\to+\infty }\left(\frac{1}{n}\times n\int_0^1x^ndg(x)\right)=\lim_{n\to+\infty } \frac{g'(1)}{n}=0$ $