Transformación de vectores

Question

Dé una condición necesaria y suficiente ("si y solo si") para cuando tres vectores$a, b, c, \in \mathbb{R^2}$ puedan transformarse en vectores de longitud unitaria mediante una sola transformación afín.

Esta es solo una pregunta extra que nos dio el profesor, pero no sé ni siquiera de qué se habla o cómo hacerlo.

Answer 1

Suponga que $a,b,c$ son diferentes. (Si no, se encuentran en un círculo y que el círculo podría ser afín transformado a la unidad de círculo alrededor de la origo.)

Prop.: $a,b,c\in\Bbb R^2$ son no colineales si no hay una transformación afín $\phi(x)=Mx+v$ tal que $\phi(a),\phi(b),\phi(c)$ son vectores unitarios.

$\Rightarrow$: Si $a,b,c$ puntos en el plano no son colineales, entonces hay un círculo que contiene a ellos, vamos a llamar a su centro $q$, y su radio de $\rho$. A continuación, la transformación afín $\ x\mapsto x-q\ $, seguido por $\ x\mapsto x/\rho$ en el mapa cada una de las $a,b,c$ a del círculo unidad.

$\Leftarrow$: Si $a,b,c$ son colineales, entonces se quedarán alineados bajo cualquier transformación afín, por lo que no todo va a encajar el círculo unidad, de seguro, como una línea que se puede encontrar a un círculo en la mayoría de los en $2$ puntos.

Answer 2

(Supongo que te refieres a una invertible transformación afín, de lo contrario es trivial. El afín de asignación de $\phi(x) = (1,0)^T$ mapas de cualquiera de los tres vectores en unidad de longitud.)

$a_i$, $i \in \{1,2,3\}$ puede ser transformada por un invertible transformación afín a la unidad de vectores de la fib (i) $a_i$ son affinely independiente (es decir, no colineales) o (ii) al menos dos de los vectores de la misma.

($\Leftarrow$): Si $a_i$ son linealmente independientes, entonces $\binom{1}{a_i}$ son linealmente independientes, y por lo que la matriz de $\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix}$ es invertible. Ahora elegir cualquiera de las tres $x_i \in \mathbb{R}^2$, y de igual forma $\overline{X} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}$. A continuación, considere la posibilidad de la transformación afín $\phi(x) = [\overline{X}\,\overline{A}^{-1} \binom{1}{x}]_{2,...,n+1}$ donde $[\cdot]_{2,...,n+1}$ significa que todos los componentes excepto la primera. Por construcción $\phi(a_i) = x_i$, por lo tanto podemos elegir el $x_i$ a mentir sobre el círculo unidad.

Si todos los vectores son el mismo, el invertible asignación de $\phi(x) = x-a+(1,0)^T$ será suficiente, si $a=b$ e $a\neq c$, entonces el invertible asignación de $\phi(x) = \frac{2}{\|a-c\|}(x-\frac{1}{2}(a+c))$ va a hacer.

($\Rightarrow$): Supongamos que los vectores son todos distintos y affinely dependiente, y deje $\phi$ ser invertible transformación afín que los mapas de la $a_i$ a de la unidad de vectores. Puesto que los vectores son distintos y affinely dependiente, que la línea en una línea. Desde $\phi$ es afín, los puntos de $\phi(a_i)$ también se encuentran en una recta. Desde una línea que cruza el círculo unidad en la mayoría de los dos lugares, y $\phi(a_i)$ todos tienen la unidad de la norma, entonces al menos dos vectores de mapa para el mismo punto, lo que contradice invertibility de $\phi$.