¿Cuál es la probabilidad de que se elija una bola roja antes que la negra?

Question

Una caja contiene 2 bolas blancas, 2 rojas y una negra. Las bolas se eligen sin reemplazo de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja sea elegida antes que la negra?

Estoy bastante confundido con la pregunta porque se trata de un ejercicio dispuesto en la sección de "combinación", sin embargo intuyo que es un problema de "permutación". Las bolas rojas y las blancas tienen que ser diferentes, y como se elige una roja antes que la negra, entonces hay que tener en cuenta su orden. Además, la cuestión es que "el rojo", por lo tanto la bola roja etiquetada como 1 y la bola roja etiquetada como 2 pueden ser elegidas sin tener en cuenta sus órdenes. ¿Puede alguien darme una pista para resolver este tipo de problema?

Answer 1

Me parece que primero puedes ignorar las bolas blancas: si configuras primero el orden de las bolas negras y rojas, entonces añadir las bolas blancas en cualquier combinación no puede afectar a tu respuesta porque las posiciones de las bolas mientras son todas igualmente posibles e igualmente probables independientemente de la situación [*].

Esto sugiere que la probabilidad es de 2/3.

Considera las tres bolas no blancas. La bola negra puede ser la primera, la segunda o la tercera. Todas estas posibilidades son igualmente probables. Si la bola negra es la primera, pierdes porque la has sacado antes que una bola roja. En los otros dos resultados, ganas porque sacas una bola roja antes que una negra.

[Para ver esto, puedes imaginar todas las bolas dispuestas en una fila en el orden en que las sacaste. Puedes cambiar las posiciones de las bolas blancas sin (a) cambiar la probabilidad de esa configuración, y (b) sin cambiar si sacaste una bola roja antes que una negra.

Answer 2

@user326210 ha dado una respuesta de lo más sencilla. Si a pesar de todo insistes en una respuesta utilizando "conceptos combinatorios" puedes argumentar lo siguiente:

Numerar las bolas blancas $1$ y $2$ las bolas rojas $3$ y $4$ y la bola negra $5$ . El resultado del sorteo es entonces una permutación aleatoria de $[5]$ como $(41352)$ . Por simetría una quinta parte de estas permutaciones comienzan con $5$ y dos quintos con $3$ o $4$ . De las permutaciones que comienzan con $1$ o $2$ una cuarta parte tiene $5$ en segundo lugar y dos cuartos tienen $3$ o $4$ en segundo lugar. Finalmente de las permutaciones que comienzan con $12$ o $21$ un tercio tiene $5$ en el tercer lugar y dos tercios tienen $3$ o $4$ en el tercer lugar.

La conclusión es que $5$ aparece antes de $3$ o $4$ en exactamente un tercio de todas las permutaciones. ¿Has obtenido alguna idea al pasar por todos estos movimientos?

Answer 3

Una forma es pensar desde el punto de vista opuesto: la probabilidad del rojo antes del negro implica uno menos la probabilidad del no rojo antes del negro. Por lo tanto: $$1-P(B)-P(W\cap B)-P(W\cap W\cap B)=$$ $$1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}-\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Answer 4

Las configuraciones posibles son {RWB}, {WRB}, {RBW}.

Probabilidad de que la última bola en extinguirse sea negra = $\frac{b}{r+w+b}$ . Dado que la última bola en extinguirse es negra, la bola blanca es la segunda en extinguirse es $\frac{w}{r+w}$ . Así, para la primera configuración, el

P(RWB) = $\frac{w}{r+w}.\frac{b}{r+w+b} =\frac{2}{4}.\frac{1}{5}$

Asimismo,

P(WRB) = $\frac{r}{r+w}.\frac{b}{r+w+b} = \frac{2}{4}.\frac{1}{5}$

y por último

P(RBW) = $\frac{b}{r+b}.\frac{w}{r+w+b} =\frac{1}{3}.\frac{2}{5}$

Sumando todo se obtiene $\frac{1}{3}$ ,