¿Por qué los derivados se especifican como d/dx?

Question

¿Es el propósito de la notación derivada d/dx estrictamente para fines de manipulación simbólica?

Recuerdo estar confundido cuando vi por primera vez la notación de las derivadas: se ve vagamente como si hubiera alguna división y se agregaran algunos caracteres 'd' elegantes... Recuerdo pensar que era muchos caracteres para representar una acción con respecto a una variable. Por supuesto, una vez que comienzas a mover el dx, tiene un poco más de sentido por qué existen, ¿pero es esta la única razón?

Se agradece cualquier lección de historia o ejemplos donde esta notación sea útil o no útil.

Answer 1

Debido a su definición:

Comience con una función, calcule la diferencia de valor entre dos puntos y divida por el tamaño del intervalo entre los dos. Puede representar esto de la siguiente manera:

$$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$

o

$$\frac{\Delta f\left(x\right)}{\Delta x}$$

Donde , delta, es la letra griega mayúscula D e indica un intervalo. Ahora, tome el límite a medida que $\Delta x$ tiende a cero, y tendrá el diferencial. Esto se indica usando una letra minúscula $d$ en lugar de $\Delta$.

$$\frac{df\left(x\right)}{dx}$$

Ahora, si esta operación se trata como un operador aplicado a una función, generalmente se representa como

$$\frac{d}{dx}f\left(x\right)$$

Nota que (típicamente en física), también puede usar la letra $\delta$ para indicar intervalos muy pequeños y en general usaría el símbolo $\partial $ para representar diferenciales parciales. Son todas variaciones de la letra $D$.

Answer 2

Si tienes acceso a ello, el libro A History of Mathematical Notations, de Florian Cajori, tiene una descripción bastante detallada de la historia de las notaciones para derivadas en su segundo volumen.

Answer 3

Si eres una persona aficionada a la física, entonces una buena razón para gustarte esta notación es que da las unidades correctas para la derivada: cualesquiera que sean las unidades de $f(x)$, las unidades de $\frac{d}{dx} f(x)$ se obtienen dividiendo por las unidades de $x$.

Answer 4

Esta es la notación de Leibniz, que se basa en la proporción de "infinitesimales". $dy$ y $dx$ son, respectivamente, el incremento infinitesimal de la variable dependiente $y$ y el incremento infinitesimal de la variable $x$.

Existen otras notaciones: la notación de Newton, que pone un punto sobre el nombre de la variable, como en $\dot y$, y la notación de Cauchy, que utiliza el operador $D$, como en $D(\sin(x))=\cos(x)$.

Answer 5

Las pasas histéricas.

Antiguamente, el cálculo se hacía con infinitésimos (Arquímedes El Método de los Teoremas Mecánicos, las Fluxiones de Newton , ...) pero hubo cierta controversia acerca de estas cantidades fantasmales eventualmente toda la base del análisis fue reconstruida usando límites pero se conservaron las antiguas notaciones. Por lo tanto, hay (como habrás notado) un extraño espacio entre la realidad (la epsilonica) y la intuición (cantidades infinitesimales) pero hay algunos desarrollos más recientes de la base del análisis, por ejemplo Keisler o Bell.