¿Por qué se especifican los derivados como $\frac{d}{dx}$?

Question

¿Es el propósito de la notación de la derivada $\frac{d}{dx}$ estrictamente para fines de manipulación simbólica?

Recuerdo estar confundido cuando vi por primera vez la notación para las derivadas - parece vagamente como si hubiera alguna división ocurriendo y hay algunos caracteres 'd' elegantes que se añaden... Recuerdo pensar que era muchos caracteres para representar una acción con respecto a una variable. Por supuesto, una vez que empiezas a mover el dx alrededor tiene un poco más de sentido por qué existen - ¿pero es esta la única razón?

Cualquier lección de historia o ejemplos donde esta notación sea útil o no útil son apreciados.

Answer 1

Debido a su definición:

Comienza con una función, calcula la diferencia de valor entre dos puntos y divide por el tamaño del intervalo entre los dos. Puedes representarlo de la siguiente manera:

$$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$

o

$$\frac{\Delta f\left(x\right)}{\Delta x}$$

Donde, delta, es la letra griega capital D e indica un intervalo. Ahora, lleva el límite a medida que $\Delta x$ tiende a cero, y tendrás la diferencial. Esto se indica utilizando una letra minúscula $d$ en lugar del $\Delta$.

$$\frac{df\left(x\right)}{dx}$$

Ahora, si esta operación se trata como un operador aplicado a una función, generalmente se representa como

$$\frac{d}{dx}f\left(x\right)$$

Nota que (típicamente en física), también puedes usar la letra $\delta$ para indicar intervalos muy pequeños y en general usarías el símbolo $\partial $ para representar diferenciales parciales. Todos son variaciones de la letra $D$.

Answer 2

Si tienes acceso a él, el libro A History of Mathematical Notations, de Florian Cajori, tiene una descripción bastante detallada de la historia de las notaciones para derivadas en su segundo volumen.

El texto está disponible en el Internet Archive aquí y la sección sobre cálculo diferencial e integral comienza en el párrafo 566, que está en la página 196 (220 del visor pdf del sitio).

Answer 3

Si eres una persona aficionada a la física, entonces una buena razón para disfrutar de esta notación es que proporciona las unidades correctas para la derivada: cualesquiera que sean las unidades de $f(x)$, las unidades de $\frac{d}{dx} f(x)$ se obtienen dividiendo por las unidades de $x$.

Answer 4

Esta es la notación de Leibniz, que se basa en la relación de "infinitesimales". $dy$ y $dx$ son, respectivamente, el incremento infinitesimal de la variable dependiente $y$ y el incremento infinitesimal de la variable $x$.

Existen otras notaciones: la notación de Newton, que coloca un punto sobre el nombre de la variable, como en $\dot y$, y la notación de Cauchy, que utiliza el operador $D$, como en $D(\sin(x))=\cos(x)$.

Answer 5

Las pasas histéricas.

Originalmente, el cálculo se realizaba con infinitesimales (Arquímedes El Método de los Teoremas Mecánicos, las Fluxiones de Newton, ...) pero hubo controversia sobre estas cuantidades fantasmas eventualmente toda la base del análisis fue reconstruida utilizando límites pero se han mantenido las antiguas notaciones. De manera que hay (como has notado) una extraña brecha entre la realidad (epsilonics) y la intuición (cantidades infinitesimales) pero ha habido algunos desarrollos más recientes de la base del análisis por ejemplo Keisler o Bell.