$A, B$ son$n$ por$n$ matrices reales simétricas donde$x^TAx=x^TBx=0$ implica$x=0$. Demuestre que hay números reales$u, v$ que hacen$uA+vB$ postive-definido. No estoy seguro de si es verdad o no. Traté de refutarlo, pero me resultó difícil encontrar un$x$ en la esfera unitaria que matara a ambas formas. Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.
Respuesta
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No es verdad Contraejemplo: $$ A = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & -1}, \ B = \ pmatrix {0 & 1 \\ 1 & 0}. $$ Claramente,$x^TAx=0$ si y solo si$x=(t,\pm t)^T$, y$x^TBx=0$ si y solo si$x=(t,0)^T$ o$(0,t)^T$. Entonces, la única solución para$x^TAx=x^TBx=0$ es el vector cero. Sin embargo,$uA+vB$ nunca es positivo definido porque tiene una traza cero.
