Ampliando el isomorfismo a un automorfismo

Question

Supongamos que $K / F$ es una extensión de campos y $\alpha, \alpha '\in K$ son dos raíces distintas del mismo polinomio irreducible en $F[x]$. Existe un isomorfismo $$\psi:F(\alpha)\rightarrow F(\alpha')$$ que mapea $\alpha \mapsto \alpha'$ y fija los otros elementos de $F$.

¿Hay una forma de extender este isomorfismo a un automorfismo $\phi$ de $K / F$ tal que $$\phi \rvert_{F(\alpha)}=\psi$$?

Answer 1

Por ejemplo, si $\mathbb{Q}[2^{1/2}]\subseteq \mathbb{R}$, tal extensión no puede ocurrir para $x^2-2^{1/2}$, enviando $2^{1/4}\mapsto -2^{1/4}$. Si ocurriera, enviaría $2^{1/8}$, una raíz de $x^2-2^{1/4}$, a una raíz de $x^2+2^{1/4}$, lo cual no existe