Teorema de Goodstein no es demostrable en la Aritmética de Peano demostrada por Kirby y Harrington en 1982 [Wolfram Mathworld] .
¿Alguna referencia de un juego de hidra "cuántica" en el que una cabeza pueda permanecer en estado de superposición?
Sólo encontré este folio de Matthew Leifer en línea .
Antecedentes:
En la página de Laurence Kirby se habla del siguiente algoritmo para resolver el juego de la Hidra .
Un algoritmo para T es el siguiente: partiendo de la raíz, recorremos "subimos" por el árbol de tal manera que, una vez alcanzado un nodo, nos desplazamos hasta el nodo inmediatamente superior que tenga asignado el mínimo ordinal entre entre todos los nodos inmediatamente superiores. (Si más de uno tiene ordinal mínimo elegimos, por ejemplo, el más a la izquierda). Finalmente llegamos a un nodo superior y la cabeza a la que está unido es la que hay que cortar.
O como escribe Andrej Bauer:
He aquí un hecho sorprendente:
Teorema 1: ¡No puedes perder!
La prueba utiliza números ordinales. A cada hidra le asignamos un número ordinal ordinal:
Una cabeza obtiene el número $0$ . Supongamos un nodo $x$ tiene subhidrasas $H_1, \ldots, H_n$ creciendo a partir de ella. A cada subhidra le asignamos su ordinal recursivamente y ordenamos los ordinales en orden descendente: $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \ldots \geq > \alpha_n$ . El ordinal asignado al nodo $x$ es $\omega^{\alpha_1} > + \omega^{\alpha_2} + \cdots + \omega^{\alpha_n}$ . Por ejemplo, el ordinal correspo $\omega^{\omega^3 + 1} + 1$ . La hidra de la segunda imagen obtiene el ordinal $\omega^{\omega^2 \cdot 4 + 1} + 1$ . Al cortar una cabeza disminuimos estrictamente el ordinal. Como no hay infinitas secuencias estrictamente descendentes de ordinales, la hidra acabará muriendo, independientemente de cómo se corten las cabezas.
