¿Extender la valoración al álgebra de división sobre un campo local no arquimédico?

Question

Dejemos que $D$ sea un álgebra de división sobre un campo local no arquimédico $K$ . Me gustaría ampliar la valoración discreta sobre $K$ a $D$ .

Para cualquier $x \in D$ el subcampo $K(x)$ de $D$ tiene una extensión única de la valoración en $K$ para poder definir $v: K \to \mathbb Z \cup \{\infty\}$ al establecer $v(x) = v_D(x): = v_{K(x)}(x)$ . Pero, ¿por qué $v$ ¿se define de esta manera multiplicativa? Es decir, ¿por qué $v_{K(xy)} (xy) = v_{K(x)} (x) + v_{K(y)}(y)$ ?

Está claro en el caso que $x$ y $y$ conmutar: entonces los tres campos $K(xy)$ , $K(x)$ y $K(y)$ son todos subcampos del campo $K(x, y)$ y las valoraciones en los tres subcampos coinciden con la restricción de la valoración en $K(x, y)$ . Pero esto debería ser cierto para cualquier $x, y \in D$ .

(Aquí hay un argumento tonto que puedo hacer. Construir $v$ en lugar de utilizar la norma reducida. Entonces está claro que $v$ es multiplicativo. Demuestre también que $v$ amplía la valoración en $K$ y en campos intermedios, y es no arquimédica -- esta última usando el truco de que, por multiplicatividad, $v(x + y) = v(x) + v(1 + y/x)$ y luego $y/x$ y $1$ viven en el mismo subcampo. Así que este $v$ una valoración, y como coincide en subcampos con la primera construcción, esa primera construcción también da una valoración, que en particular debe ser multiplicativa. Así que supongo que funciona, ¡pero no me gusta!)

Answer 1

Una construcción es a través del punto de vista de la medida de Haar (explicado por ejemplo aquí ), a saber: si $x \in D\setminus \{0\}$ , se define $|x|$ para ser el factor por el cual la multiplicación por $x$ escala la medida aditiva de Haar en $D$ .