Dejemos que $D$ sea un álgebra de división sobre un campo local no arquimédico $K$ . Me gustaría ampliar la valoración discreta sobre $K$ a $D$ .
Para cualquier $x \in D$ el subcampo $K(x)$ de $D$ tiene una extensión única de la valoración en $K$ para poder definir $v: K \to \mathbb Z \cup \{\infty\}$ al establecer $v(x) = v_D(x): = v_{K(x)}(x)$ . Pero, ¿por qué $v$ ¿se define de esta manera multiplicativa? Es decir, ¿por qué $v_{K(xy)} (xy) = v_{K(x)} (x) + v_{K(y)}(y)$ ?
Está claro en el caso que $x$ y $y$ conmutar: entonces los tres campos $K(xy)$ , $K(x)$ y $K(y)$ son todos subcampos del campo $K(x, y)$ y las valoraciones en los tres subcampos coinciden con la restricción de la valoración en $K(x, y)$ . Pero esto debería ser cierto para cualquier $x, y \in D$ .
(Aquí hay un argumento tonto que puedo hacer. Construir $v$ en lugar de utilizar la norma reducida. Entonces está claro que $v$ es multiplicativo. Demuestre también que $v$ amplía la valoración en $K$ y en campos intermedios, y es no arquimédica -- esta última usando el truco de que, por multiplicatividad, $v(x + y) = v(x) + v(1 + y/x)$ y luego $y/x$ y $1$ viven en el mismo subcampo. Así que este $v$ una valoración, y como coincide en subcampos con la primera construcción, esa primera construcción también da una valoración, que en particular debe ser multiplicativa. Así que supongo que funciona, ¡pero no me gusta!)
