Cómo demostrar que f es unívoca

Question

Dejemos que $g\colon \mathbb{R} \mathbb{R}$ sea diferenciable con derivada acotada, es decir $|g'(x)| < M$ para todos $x \mathbb{R}$ . Sea $\epsilon$ sea un número positivo que satisfaga $0 < \epsilon < 1/M$ . Sea $f(x) = x+\epsilon g(x)$ .

¿Cómo puedo demostrar que $f$ es uno a uno (inyectivo)? Realmente no tengo ni idea de cómo resolver la pista. Se agradecería cualquier pista.

Gracias :)

Answer 1

Supongamos que $f(x)=f(y)$ . Nuestra tarea es demostrar que $x=y$ .

Tenemos que $0=f(x)-f(y)=(x-y)+\epsilon(g(x)-g(y))$ . Utilizando el teorema del valor medio sabemos que hay algo de $z$ entre $x$ y $y$ tal que $g(x)-g(y)=(x-y)g'(z)$ Así que $$0=f(x)-f(y)=(x-y)(1+\epsilon g'(z)).$$ Ahora bien, si $x\ne y$ entonces $1+\epsilon g'(z)=0$ o $g'(z)=-1/\epsilon<-M$ Así que $|g'(z)|>M$ contradiciendo la estimación dada. Como esto es imposible, entonces $x=y$ como necesitábamos.

Answer 2

Por contradicción : Supongamos que existe $x,y$ tal que $x < y$ et $f(x)=f(y)$ entonces $x+\epsilon g(x)=y+\epsilon g(y)$ es decir, $x-y=\epsilon (g(y)-g(x)) = \epsilon (y-x) g'(c)$ donde $x < c < y$ ( $c$ existe por el Teorema del Valor Medio). Así que : $|x-y|=\epsilon |g'(c)| |x-y| \leq \epsilon M |x-y| < |x-y|$

Eso es imposible.

Answer 3

Una pista: Si $f(x_1)=f(x_2)$ ¿Qué puede decir sobre $f'(x)$ para $x\in(x_1,x_2)$ ?