Generado $\sigma$ -Pregunta de álgebra

Question

Leyendo mis apuntes de clase, y estoy un poco atascado en este concepto.

Dejemos que $A$ sea un conjunto de subconjuntos de $E$ . Definir $$ \sigma(A) = \{ A \subseteq E \ : \ A \in F \text{ for all } \sigma\text{-algebras } F \text{ containing }A \} .$$ Entonces $\sigma(A)$ es un $\sigma$ -que se denomina $\sigma$ -generada por $A$ . Es el más pequeño $\sigma$ -que contiene $A$ .

Así que digamos: $E = \{1,2,3\}$ . Todos los posibles subconjuntos de $E$ será $ = \{ \{ \emptyset \}, \{1,2,3\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\} \}$ . Así que si elegimos $A= \{1 \}$ Entonces, ¿qué es lo que $\sigma(\{1\})$ ¿a qué equivale?

$$ \sigma(\{1\}) = \{ \{1 \} \subseteq E \ \colon \ \{1 \} \in F \text{ for all } \sigma\text{-algebras } F \text{ containing } \{1\} \} .$$

¿Cómo puedo encontrar todos los $\sigma$ -algebras $F$ que contiene $\{1\}$ ? Gracias.

Answer 1

Como comentario general sobre este tipo de construcción, podría sugerir la lectura de esta respuesta .

En general, lo que usted describe es el enfoque "descendente" de la construcción. Por lo general, no es práctico conocer realmente la descripción de los elementos del objeto generado. Para eso, se necesita la construcción "bottom-up". En la pregunta enlazada anteriormente, Asaf Kargila proporciona la descripción de la construcción "bottom-up".

En su caso particular, por supuesto, ya que $E$ es pequeño (3 elementos), por lo que $P(E)$ es pequeño (8 elementos), el número de posibles $\sigma$ -es algo manejable (aunque sigue siendo grande).

¿Qué son todos los $\sigma$ -en las álgebras $E=\{1,2,3\}$ que contienen $\{1\}$ como elemento? Deben contener $\emptyset$ , $\{1\}$ , $\{2,3\}$ y $E$ . Hay otros 4 elementos en $P(E)$ que puede o no estar en un $\sigma$ -Álgebra.

1. Una $\sigma$ -álgebra es sólo $\{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, E\}$ .
2. Si el $\sigma$ -contiene o bien $\{2\}$ o $\{3\}$ además de aquellos, entonces también debe contener el otro (diferencia simétrica con $\{2,3\}$ ), y por lo tanto ser todos los $P(E)$ .
3. Si el $\sigma$ -contiene cualquier otra $2$ -entonces debe contener otro singleton (diferencia simétrica con $\{2,3\}$ ), por lo que deben ser todos los $P(E)$ .

Así que, de hecho, el único $\sigma$ -en las álgebras $E$ que contienen $\{1\}$ son $\{\emptyset, \{1\},\{2,3\}, E\}$ y $P(E)$ . La intersección es sólo $\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},E\}$ Así pues, el $\sigma$ -generada por $\{1\}$ es $\{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, E\}$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que la definición correcta es la que ha escrito Martin. La definición de $\sigma(A)$ en general no es muy útil para la construcción del $\sigma$ -generada por $A$ porque, como ha mencionado, puede ser difícil de describir todo $\sigma$ -que contienen $A$ pero cuando $A$ es un solo conjunto el problema es fácil.

Dejemos que $P(E)$ denotan el conjunto de potencias de $E$ es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de $E$ y $a\in P(E)$ - subconjunto de $E$ . Consideremos $F:=\sigma(a)$ .

1. En primer lugar, $E\in F$ sea la definición;

2. $\emptyset\in F$ y $a^c\in F$ porque cualquier complemento de elemento de $F$ pertenece a $F$ .

3. Supongamos ahora que $F = \{\emptyset,a,a^c,E\}$ ya que demostramos que estos elementos tienen que estar en $F$ de todos modos. Tenemos que comprobar que $E\in F$ (hecho), $F$ es cerrado bajo la toma de complementos (hecho) y cualquier unión contable de elementos de $F$ pertenece a $F$ (también fácil de ver).

Como resultado, $\sigma(a) = \{\emptyset,a,a^c,E\}$ . En su caso $a = \{1\}$ por lo que $$ \sigma(\{1\}) = \{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}. $$

Answer 3

En realidad $A=\{\{1\}\}$ ya que debe ser un subconjunto del conjunto Power. Ahora hay que encontrar $\sigma(A)$ yo haría lo siguiente:

En primer lugar $\emptyset, E, \{1\}$ debe estar en $\sigma(A)$ y luego el complemento de $\{1\}$ que es $\{2,3\}$ . Así que $$ \sigma(A)=\{\emptyset, E, \{1\}, \{2,3\} \} $$