Totalmente separados de Piedra y los espacios

Question

Estoy siguiendo el curso de Topología, y quiero hacerle algunas preguntas acerca de los temas en el encabezamiento. Tenemos las siguientes definiciones:

• Un espacio topológico $X$ está totalmente separado el fib para todos los $x\neq y$ existe un clopen set $C\subset X$ tal que $x\in C$ e $y\notin C$
• X se llama una Piedra de espacio iff X es compacto Hausdorff y cero-dimensional

También tenemos el siguiente lema: $X$ compacto de Hausdorff y totalmente separados implica $X$ cero-dimensional.

Ahora quiero responder a las siguientes declaraciones:

• Demostrar que para cada $X\subset\Bbb{R}$ con vacío interior es totalmente separados
• Demostrar que el uno-punto-compactification de cada espacio discreto es una Piedra de espacio
• Sea X un espacio discreto: Demostrar que el lineal útil de la idempotents de $C_b(X,\Bbb{R})$ (el espacio delimitado funciones continuas de $X$ a $\Bbb{R}$) es denso en $C_b(X,\Bbb{R})$.Probar ahora que la Piedra-Chech-compactification $\beta X$ es una Piedra de espacio.

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Tengo algunas ideas, pero no sé si hay buenas. Aquí mis ideas:

• Elija $[a,b]$ e $(a,b)$ en $\Bbb{R}$ de manera tal que la intersección con $X$ es el mismo. Observe que $X$ no contiene un intervalo abierto porque el interior está vacío. A continuación, $X\cap[a,b]=X\cap(a,b)$ es el clopen conjunto en la búsqueda de. Es esto bueno o pierdas yo algo?
• Para el segundo, quiero demostrar que la uno-punto-compactification $X_{\infty}$ está totalmente separado. Sé que esto es cierto para $X$, debido a $X$ es discreto y por lo tanto todos los subconjuntos de clopen. Pero, ¿qué acerca de la uno-punto-compactification (porque entonces podemos usar el lema a la conclusión de que la $X_{\infty}$ es una Piedra de espacio).
• Sabemos que las funciones en el espacio son limitados. Por lo tanto, si elegimos $\epsilon>0$ arbitrarias podemos encontrar un mínimo de $n\in\Bbb{N}$ tal que $|f|<n\epsilon$. Podemos entonces hacer idempotente funciones que se definen en un $\epsilon$-el barrio para concluir el resultado? No me puedo imaginar otra manera de demostrarlo. Que $\beta X$ es una Piedra de espacio quiero demostrar que la $\beta X$ está totalmente separado porque entonces podemos usar el Lema, pero ¿cómo hacer eso?

Espero que alguien me puede ayudar?! Es mucho lo que he pedido que aquí, pero si puedo conseguir soluciones o sugerencias de que puedo seguir con mi trabajo :) Gracias por la ayuda :)

Answer 1

La primera respuesta es completa, el segundo casi así; y el tercero me he dado una pista, pero todavía existe un verdadero trabajo a realizar.

Para la primera pregunta que usted debe demostrar que para todos los distintos $x,y\in X$ hay una clopen $C\subseteq X$ tal que $x\in C$ e $y\notin C$. Deje $x,y\in X$ con $x\ne y$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $x<y$. $X$ ha vacío interior, por lo $(x,y)\nsubseteq X$, y podemos optar $z\in(x,y)\setminus X$. Ahora vamos a $$C=(\leftarrow,z)\cap X=(\leftarrow,z]\cap X\;,$$ $C$ is clopen in $X$, $x\in C$, and $s\noen C$, justo como queríamos.

Deje $X$ ser un conjunto infinito con la topología discreta, y deje $X^*=X\cup\{p\}$ ser el único punto de compactification de $X$, con $p$ el punto en el infinito. Deje $x$ e $y$ ser distintos puntos de $X^*$. Si $x\in X$, muestran que $C=\{x\}$ es un clopen conjunto que contenga $x$ e no $y$. La única otra posibilidad es que el $x=p$, en cuyo caso $C=X^*\setminus\{y\}$ obras; ¿por qué?

Para el tercer problema que tenga en cuenta que $C_b(X,\Bbb R)$ es sólo el conjunto de los delimitadas las funciones de $X$ a $\Bbb R$, ya que todas las funciones de $X$ a $\Bbb R$ son continuas. Ahora vamos a $f\in C_b(X,\Bbb R)$, y vamos a $A=f[X]$. $A$ es limitada, por lo que para cada una de las $\epsilon>0$ no es un conjunto finito $\{a_1,\dots,a_n\}\subseteq A$ tal que para cada una de las $a\in A$ no es un porcentaje ($k\in\{1,\dots,n\}$tal que $|a-a_k|<\epsilon$. Ahora intenta encontrar idempotents $g_1,\dots,g_n$ tal que $$\left\|f-\sum_{k=1}^na_kg_k\right\|_\infty<\epsilon\;.$$