Encuentre el intervalo de convergencia de la serie $ \sum^{\infty}\limits_{k=0} ((-1)^k+3)^k(x-1)^k $

Question

Deseo encontrar el intervalo de convergencia de la siguiente serie \begin{align} \sum^{\infty}_{k=0} ((-1)^k+3)^k(x-1)^k \end{align}

PRUEBA

A sabiendas, \begin{align} \left[(-1)^k+3\right]^k= \begin{cases} 0,&\text{if}\;j=0;\\4^j,&\text{if}\;j=2k;\\2^j,&\text{if}\;j=2k+1.\end{casos} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left|((-1)^k+3)^k(x-1)^k\right|}&=|x-1|\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{ 2^{2k+1}}\\&=|x-1|\limsup_{k\to\infty} 2^{(2k+1)\times \frac{1}{k}} \\&=4|x-1| \end{align} La serie converge absolutamente al $\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left|((-1)^k+3)^k(x-1)^k\right|}<1,$ es decir, \begin{align} |x-1|< \dfrac{1}{4}\iff \dfrac{3}{4}<x<\dfrac{5}{4} \end{align}

PREGUNTA:

¿Por qué debe \begin{align} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left|((-1)^k+3)^k(x-1)^k\right|}= \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left| 2^{2k+1}(x-1)^k\right|}\end{align} como se dice en el libro antes que yo y no \begin{align} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left|((-1)^k+3)^k(x-1)^k\right|}= \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left| 4^{2k}(x-1)^k\right|}\;?\end{align}

Answer 1

Su justificación de la igualdad$$\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{((-1)^k+3)^k(x-1)^k}=\lvert x-1\rvert\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{ 2^{2k+1}}$$doesn't hold. You have $\bigl((-1)^{2k+1}+3\bigr)^{2k+1}=2^{2k+1}$. Therefore, what you should consider here is$$\sqrt[2k+1]{2^{2k+1}}=2.$$But, since $\bigl((-1)^{2k}+3\bigr)^{2k}=4^{2k}$ and$$\sqrt[2k]{4^{2k}}=4,$$you have$$\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{((-1)^k+3)^k(x-1)^k}=4\lvert x-1\rvert.$$

Answer 2

Sugerencia

$$ \sum^{n}_{k=0} ((-1)^k+3)^k(x-1)^k =\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^n 4^{2k}(x-1)^{2k}+2(x-1)\sum_{k=0}^n 2^{2k}(x-1)^{2k}\right) $$

y ahora

$$ \sum_{k=0}^n 4^{2k}(x-1)^{2k} = \frac{1-4^{2(n+1)}(x-1)^{2(n+1)} }{1-4^{2}(x-1)^{2}} $$

que converge si $|4(x-1)| < 1$ etc. así, el resultado es

$$ \sum^{n}_{k=0} ((-1)^k+3)^k(x-1)^k=\frac{2(x-1)}{1-2^2 (x-1)^2}+\frac{1}{1-4^2 (x-1)^2} $$

para $\frac 34\lt x\lt \frac 54$

Adjunto la trama que muestra en rojo la suma aproximación para $n = 10$ y en negro el asintótica resultado encontrado