¿Cómo puedo demostrar que el ideal de $I = (z^2-x^2y, y^2-xz, x^3-yz)$ es un primer ideal de $ K[x,y,z]$. Quiero construir un morfismos $\phi:K[x,y,z] \rightarrow K[t,s]$ cuyo núcleo es igual a$I$, pero la de la foto yo no veo una parametrización o cómo hacerlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Creo que una explicación de donde lhf tengo esos números serían útiles. Voy a crear una matriz en la que cada fila corresponde a una de las generadoras de binomios. Cada columna estará asociada a $x,y,$ e $z$ respectivamente. Un exponente antes de que el signo negativo resultado positivo en la entrada y un exponente después de que el signo negativo corresponde a una entrada negativa.
Por ejemplo: $z^2 - x^2y$ corresponderá a la fila $\begin{pmatrix}-2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.
Por lo que la matriz que obtenemos de este ideal es:
$$ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}_.$$
Ahora bien, si definimos un morhpism $\varphi : K[x,y,z] \to K[t]$ por $\varphi(x) = t^a$, $\varphi(y) = t^b$, y $\varphi(z) = t^c$; a continuación, $I$ será el núcleo precisamente cuando $$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$ is in the kernel of $Un$.
Sucede que $\ker(A)$ es distribuido por $$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}_.$$
Descargo de responsabilidad: Cuando me dijo que "precisamente cuando", que la instrucción toma un poco de la prueba. Como lhf señalado, uno inclusión es obvio. El otro puede tomar un poco de trabajo para convencerse a sí mismo.