El último dígito de la $235!^{69}$

Question

Problema

¿Cuál es el último dígito de la $235!^{69}$?

Ha sido demasiado tiempo desde que no hago modulo calcuations, e incluso entonces, el factorial que me de la espalda.

Mi primer pensamiento va al último dígito $5$ en $235$. Si $235!$ puede ser demostrado tener un $5$ como último dígito, elevándola a cualquier número natural no debería cambiar eso, verdad?

Answer 1

Es igual a cero. En realidad $n!$ es un múltiplo de $10$ para $n\ge 5$, y criar a un múltiplo de $10$ a cualquier poder natural de los resultados en un múltiplo de $10$ nuevo.

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Elaborar, $235!$ termina en $\lfloor\frac{235}5\rfloor+\lfloor\frac{235}{25}\rfloor+\lfloor\frac{235}{125}\rfloor+\ldots = 57$ ceros, por lo tanto $235!^{69}$ termina en $57\cdot 69=3933$ ceros. La última no-cero dígitos de $235!$ resulta ser un $6$ (sin embargo, muestra que no es que es trivial), y para que su argumento se aplica que esto no cambia por elevar a los poderes naturales (porque ya $6\cdot 6\equiv 6\pmod{10}$. Llegamos a la conclusión de que la última no-dígito cero de $235!^{69}$ es $6$.

Answer 2

Si $n>4$, luego $(n!)^k \equiv 0\mod{10}$ $\implies$ el último dígito es un $0$.

Para ver esto, observe desde $n>4$, $n!=(n)(n-1)\cdot\cdot\cdot(5)(4)(3)(2)(1)$. Podemos reescribir esto como: $$10\cdot[(n)(n-1)\cdot\cdot\cdot(4)(3)(1)]$$ Now our modulo definition states that since 10 is a factor of $n!$, taking its mod will yield a zero remainder ($\existe h\en \{1,2,3...\}$ s.t. $h=\frac{n!}{10}=\frac{10\cdot[(n)(n-1)\cdot\cdot\cdot(4)(3)(1)]}{10}=[(n)(n-1)\cdot\cdot\cdot(4)(3)(1)]$ which is natural number since the naturals are closed under addition and multiplication). Thus, we have proven $n!$'s congruence to $0\mod10$. Ahora simplemente nos tenga en cuenta la siguiente identidad:

Si $a\equiv b\mod{m}$,, a continuación,$a^q\equiv b^q\mod{m}$.