Demostrar que $\sinh(\cosh(x)) \geq \cosh(\sinh(x))$

Question

Demostrar que

$$\sinh(\cosh(x)) \geq \cosh(\sinh(x))$$

Intenté abordar este problema integrando tanto lhs como rhs, con el fin de obtener dos funciones que muestren claramente que la desigualdad se mantiene. He luchado un poco por este problema, no sé si hay algún truco que pueda ayudar. Quizás sabiendo que

$$\cosh^{-1}(x) = \pm \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$

¿Puede ayudarnos?

Answer 1

De hecho, podemos demostrar la desigualdad estricta.

Empecemos con la observación de que, puesto que $\cosh u\ge1\gt0$ para todos $u$ y $\sinh u\gt u\gt0$ para todos $u\gt0$ tenemos

$$\begin{align} \sinh(\cosh x)\gt\cosh(\sinh x) &\iff\sinh^2(\cosh x)\gt\cosh^2(\sinh x)\\ &\iff\cosh^2(\cosh x)-1\gt\cosh^2(\sinh x)\\ &\iff\cosh^2(\cosh x)-\cosh^2(\sinh x)\gt1\\ &\iff(\cosh(\cosh x)+\cosh(\sinh x))(\cosh(\cosh x)-\cosh(\sinh x))\gt1 \end{align}$$

Ahora $\cosh(\cosh x)+\cosh(\sinh x)\ge1+1=2$ por lo que basta con demostrar que

$$\cosh(\cosh x)-\cosh(\sinh x)\gt{1\over2}$$

Pero $\cosh(a+b)-\cosh(a-b)=2\sinh a\sinh b\gt2ab$ (con la desigualdad que requiere $a,b\gt0$ ), tenemos, dejando $a=e^x/2$ y $b=e^{-x}/2$ (ambos claramente positivos),

$$\cosh(\cosh x)-\cosh(\sinh x)\gt2\cdot{e^x\over2}\cdot{e^{-x}\over2}={1\over2}$$

como desee.