Demostrar que $\sinh(\cosh(x)) \geq \cosh(\sinh(x))$

Question

Demostrar que

$$\sinh(\cosh(x)) \geq \cosh(\sinh(x))$$

Intenté abordar este problema integrando tanto lhs como rhs, con el fin de obtener dos funciones que muestren claramente que la desigualdad se mantiene. He luchado un poco por este problema, no sé si hay algún truco que pueda ayudar. Quizás sabiendo que

$$\cosh^{-1}(x) = \pm \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$

¿Puede ayudarnos?

Answer 1

He aquí una solución con muy poco cálculo. Primero, una identidad: \begin{align*} \sinh^2(a+b) - \sinh^2(a-b) &= (\sinh a\cosh b + \cosh a\sinh b)^2 - (\sinh a\cosh b - \cosh a\sinh b)^2 \\ &= 4\sinh a \cosh a\sinh b \cosh b \\ &= \sinh(2a)\sinh(2b) \end{align*} En $a=e^x/2$ y $b=e^{-x}/2$ obtenemos \begin{align*} \sinh^2(\cosh x) - \sinh^2(\sinh x) &= \sinh(e^x) \sinh(e^{-x}) \\ &\ge e^xe^{-x} &&\text{(since $\sinh t\ge t$ for $t\ge 0$)} \\ &= 1 \\ &= \cosh^2(\sinh x) - \sinh^2(\sinh x) \end{align*} Cancelación $\sinh^2(\sinh x)$ y tomando raíces cuadradas se obtiene la desigualdad deseada.

El cálculo es necesario aquí sólo para justificar la desigualdad $\sinh t\ge t$ (para $t\ge 0$ ).

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Actualización: Otra cosa buena de este método es que señala el camino hacia una desigualdad más exacta. Resulta que $$ \sinh u\sinh v \ge \sinh^2\sqrt{uv} $$ para $u,v\ge 0$ . (Prueba 1: $\frac12(u^{2m+1}v^{2n+1} + v^{2m+1}u^{2n+1})\ge (uv)^{m+n+1}$ por AM/GM; dividir por $(2m+1)!\,(2n+1)!$ y aplicar $\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty$ . Prueba 2: Compruebe que $t\mapsto\ln\sinh(e^t)$ es convexa (para todo $t$ ) calculando su segunda derivada).

Aplicando esto con $u=e^x$ y $v=e^{-x}$ anterior, obtenemos $$ \sinh^2(\cosh x) \ge \cosh^2(\sinh x) + \underbrace{\sinh^2(1) - 1}_{\approx 0.3811} $$ con igualdad cuando $x=0$ .

Answer 2

Para cualquier $y \ge 0$ Aviso

$$e^y - 1 = \int_0^y e^x dx \ge \int_0^y (1+x) dx \ge \int_0^y \left(1+\frac{x} {\sqrt{1+x^2}}\right)dx = y + \sqrt{1+y^2} - 1$$ tenemos esta pequeña desigualdad: $$\sqrt{1+y^2} - y = \frac{1}{\sqrt{1+y^2} + y} \ge e^{-y}$$

Utilizando MVT, podemos encontrar un $\xi \in (y,\sqrt{1+y^2})$ tal que

$$\sinh\sqrt{1+y^2} - \sinh(y) = \cosh(\xi)\left(\sqrt{1+y^2} - y\right) \ge \cosh(\xi) e^{-y} \ge e^{-y}$$

Desde $e^{-y} = \cosh(y) - \sinh(y)$ Esto conduce a $$ \sinh\sqrt{1+y^2} \ge \cosh(y)\\ $$

Sustituir $y$ por $\sinh(x)$ y aviso $\sqrt{1+y^2} = \cosh(x)$ Esto reduce a nuestra desigualdad deseada:

$$\sinh(\cosh(x)) \ge \cosh(\sinh(x))$$

Answer 3

Sea $t=\sinh x$ . Ahora podemos elevar al cuadrado la desigualdad y en su lugar intentar demostrar $$\sinh^2(\sqrt{1+t^2})=\sinh^2(\cosh x) \ge \cosh^2(\sinh x)=1+\sinh^2t$$

Así que basta con mostrar $f(t) = \sinh^2(\sqrt{1+t^2})-\sinh^2t-1 \ge 0$ . En $f$ es par y $f(0)> 0$ basta con demostrar que es creciente para $t$ . De ahí que nos fijemos en $$f'(t) = \frac{t\sinh (2\sqrt{1+t^2})}{\sqrt{1+t^2}} - \sinh(2t)$$ Para demostrar que esto es positivo, basta observar diferenciando que la función $g(t) = \dfrac{\sinh t}{t}$ aumenta, por lo que $g(2\sqrt{1+t^2})> g(2t)$ . Por lo tanto demostrado ...

Answer 4

Para $x\ge0$ el Teorema del Valor Medio dice que para algún $\sinh(x)\lt\xi\lt\cosh(x)$ , $$ \begin{align} \sinh(\cosh(x))-\sinh(\sinh(x)) &=\cosh(\xi)(\cosh(x)-\sinh(x))\\ &\gt\cosh(\sinh(x))\,e^{-x}\tag{1} \end{align} $$ Además, $$ \cosh(\sinh(x))-\sinh(\sinh(x))=e^{-\sinh(x)}\tag{2} $$ Por lo tanto, restando $(2)$ de $(1)$ y, a continuación, aplicar $\cosh(x)\ge1$ y $\sinh(x)\ge x$ obtenemos $$ \begin{align} \sinh(\cosh(x))-\cosh(\sinh(x)) &\gt e^{-x}\cosh(\sinh(x))-e^{-\sinh(x)}\\ &\ge e^{-x}-e^{-\sinh(x)}\\ &\ge0\tag{3} \end{align} $$ Desde $\sinh(\cosh(x))-\cosh(\sinh(x))$ es par, $(3)$ implica que la desigualdad estricta se cumple para todo $x$ : $$ \sinh(\cosh(x))\gt\cosh(\sinh(x))\tag{4} $$

Answer 5

Suplente :

$e^y=x$

Obtenemos :

$$\sinh\left(\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)}{2}\right)\geq \cosh\left(\left(x-\frac{1}{x}\right)\cdot0.5\right)$$

Sustituyendo de nuevo obtenemos :

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)0.5-\frac{1}{\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot0.5\right)}-\left(\left(x-\frac{1}{x}\right)0.5+\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)0.5}\right)\geq 0$$

O :

$$\frac{\left(3x^{4}+1\right)}{\left(1-x\right)x\left(x+1\right)\left(x^{2}+1\right)}\geq0$$

La conclusión es suave .