Hay una variable aleatoria $r = \dfrac 1 {I(y_1<c) + I(y_2<c)}$. Tanto en $y_1$ e $y_2$ son yo.yo.d. variables aleatorias con distribución exponencial, por lo que su distribución conjunta es $f(y_1, y_2) = \prod_{i=1}^2 \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_i} \theta}$.
Mi objetivo es calcular el valor esperado $E(r)$. Me probé a mí mismo y se quedó atascado en algún punto. A continuación $I(y<c)$ es el indicador de la función. Esto es lo que he intentado hasta ahora :
$ \begin{align} E(r) &= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \dfrac 1 {I(y_1<c) + I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_1} \theta} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_2} \theta} dy_1 dy_2 \\ &= \int_0^{\infty} \bigg( \int_0^{c} \dfrac 1 {1 + I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_1} \theta} dy_1 + \int_c^{\infty} \dfrac 1 {I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_1} \theta} dy_1 \bigg) \ \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_2} \theta} dy_2 \\ &= F_{y_1}(c) \int_0^{\infty} \dfrac 1 {1 + I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_2} \theta} dy_2 \ + (1-F_{y_1}(c)) \int_0^{\infty} \dfrac 1 {I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_2} \theta} dy_2\\ &= F_{y_1}(c) \bigg(\dfrac 1 2 F_{y_2}(c) + (1-F_{y_2}(c)) \bigg) \ + (1-F_{y_1}(c) ) \bigg(F_{y_2}(c) + \int_c^{\infty} \dfrac 1 {I(y_2<c)} \theta^{-1} e^{- \dfrac {y_2} \theta} dy_2 \bigg) \end{align} $
Estoy atascado porque $I(y_2<c) = 0$ en la integral. ¿Cómo debo resolver este problema?
