Tipos y Algebraicity

Question

Deje $\Phi(\bar x)$ ser un tipo más de un conjunto $X$ con respecto a una estructura $A$. Mostrar que si $\Phi$ es algebraica, a continuación, $\Phi$ contiene una fórmula $\phi$ s.t. $A\models\exists\ _{<n}\bar x\phi(\bar x)$ para algunos $\ n<\omega$.

Realmente he golpeado una pared con éste; sólo puedo lidiar con el caso de $\Phi(\bar x)$ es un tipo completo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

-Gracias

Answer 1

Un tipo de $\Phi$ en una teoría completa corresponde a un subconjunto cerrado $[\Phi]$ del espacio de los tipos de $S_n(X)$.

Según su definición, un tipo es algebraico si el subconjunto cerrado definido por las que está cubierto por una familia de subconjuntos abiertos $[\varphi]$ correspondiente a fórmulas algebraicas $\varphi$.

Pero la Piedra espacio es compacto, y el tipo es un subconjunto cerrado, por lo $[\Phi]$ está cubierto por un número finito de estos, por lo que no son algebraicas $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ tal que $[\Phi]\subseteq \bigcup_{j=1}^n [\varphi_j]$, pero el último es igual a $[\bigvee_{j=1}^n \varphi_j]$, lo $\Phi\vdash \bigvee_{j=1}^n \varphi_j$, e $\bigvee_{j=1}^n \varphi_j$ es de curso algebraicas.