¿Cuáles son algunos ejemplos de pares de uniforme de funciones continuas, uno delimitado y no delimitado, cuyo producto no es uniformemente continua?

Question

Me vino con esta pregunta, mientras que tratando de conseguir un contraejemplo para la instrucción:

si $f$ e $g$ son uniforme de funciones continuas, $g$ es limitado y $f$ no es necesariamente limitada, a continuación, $fg$ es uniformemente continua.

Que es una pregunta común en el análisis de libros, y es, de hecho, ya ha contestado en este foro. Pero las respuestas, tanto en los libros y en el foro, siempre son los mismos( o ligeras variaciones de la misma):

$f(x) = x$ e $g(x) = sin\,x$

Así, hay otros contraejemplos? En otros términos, podemos reformular la declaración de imponer $g$ "no se parece" $sin\,x$ hacer realidad?

Un ejemplo, que yo no tengo ninguna evidencia de ser cierto, sería:

si $f$ e $g$ son uniforme de funciones continuas, $g$ es limitado y no periódicas, $f$ no es necesariamente limitada. A continuación, $fg$ es uniformemente continua.

Answer 1

Creo que no hay realmente ninguna manera fácil de agregar hipótesis para hacer de esta verdad. El problema es que, si $f$ es ilimitado, entonces, ¿de dónde $f$ es grande, un pequeño cambio en $g$ puede provocar un gran cambio en la $fg$. Es decir, la sensibilidad del producto $fg$ a las perturbaciones en $g$ se pone cada vez más grande - pero el control ofrecido por el uniforme de la continuidad no puede prevenir $g$ cambiar lo suficientemente rápido como para hacer $fg$ no uniformemente continua.

Podemos hacer de este teorema fallar incluso con el aumento de las funciones. Deje $f(x)=x$. Ahora, vamos a definir una función de $g$ que es constante en la mayoría de los intervalos, pero de vez en cuando aumenta en una pequeña cantidad en un intervalo de longitud uno. Para mayor comodidad, definir la siguiente función: $$\Lambda(x)=\begin{cases}0 & \text{if }x\leq 0 \\ x & \text{if }0\leq x \leq 1 \\ 1 &\text{if }x\geq 1. \end{cases}$$ A continuación, defina los $$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\Lambda(x-4^n).$$ Observar que $g(4^n+1)-g(4^n)=\frac{1}{2^n}$. También tenga en cuenta que $g(x)\in [0,1)$ por cada $x$. Desde $f$ es creciente, se tiene la siguiente desigualdad: $$f(4^n+1)g(4^n+1)-f(4^n)g(4^n) > f(4^n)(g(4^n+1)-g(4^n)) = 4^n\cdot \frac{1}{2^n}=2^n.$$ Esto implica que $fg$ no es uniformemente continua, debido a que de manera uniforme un función continua tendría que tienen la propiedad de que $\sup |f(x)-f(x+c)|$ es finito para cada $c$.