Intuición sobre la toma de una integral

Question

Mi esperanza es desarrollar personalmente alguna intuición más para tomar una integral (medir el área bajo una curva). Considere una distribución normal y necesito el área bajo la curva de $a$ a $b$ . Sé por el cálculo que la respuesta viene dada por:

$$P(a\le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{−(y−\mu)^2/ 2\sigma^2} dx$$

El instructor de mi clase dibuja entonces una curva normal, indica $a$ y $b$ en el eje horizontal (línea numérica) y traza una línea hacia arriba desde cada punto $a, b$ a la función de densidad, une los dos puntos de cruce y mostrando un cuadrado nos pregunta: "¿Cómo obtenemos el área de un cuadrado?" (Respuesta: base por altura).

Luego se demuestra que el área del cuadrado subestima el área bajo la curva y entonces para obtener una mejor aproximación se redibujan los cuadrados como dos rectángulos y luego cuatro rectángulos y luego ocho rectángulos y este proceso muestra que el área de los rectángulos (cada vez de menor ancho) se aproxima cada vez mejor al área bajo la curva.

A continuación, el instructor dijo que el " $f(x)$ "puede considerarse como la altura del rectángulo y la parte " $dx$ "La parte de la integral se puede considerar como la base (anchura) del rectángulo y que queremos que la base sea realmente pequeña, de hecho, infinitamente pequeña. El instructor dice entonces algo como: "Tomar una integral o medir el área bajo una curva es como sumar las áreas de rectángulos con un ancho infinitamente pequeño".

Mis preguntas:

1. ¿Existen otras explicaciones intuitivas de lo que ocurre cuando sacamos un integral al exterior y podría usted proporcionarlas?

2. ¿Cómo explicaría un matemático puro una integral?

3. ¿Serían las explicaciones (intuitivas y matemáticas) totalmente coherentes?

Se agradecerían múltiples explicaciones o puntos de vista.

Answer 1

Hay diferentes formas de definir las integrales que llevan el nombre de diferentes personas. Lo que ha descrito el profesor es una explicación informal de la Integral de Riemann . Puedes ver una construcción rigurosa en el enlace, pero consiste en subdividir el intervalo de integración en subintervalos de longitudes cada vez más pequeñas, y sustituir el área bajo la gráfica por la suma de áreas de los rectángulos. Las alturas de los rectángulos son iguales a los valores de la función en algún punto del subintervalo, las sumas se llaman sumas de Riemann. Si a medida que los tamaños de los subintervalos se hacen uniformemente más pequeños existe un límite de las sumas de Riemann entonces la función se llama integrable de Riemann

Esto funciona bien para las funciones continuas y otras, pero no para las funciones no acotadas porque entonces puede hacer que algunos rectángulos tengan áreas arbitrariamente grandes. Para estos casos, se puede utilizar una noción más general de Integral de Lebesgue se utiliza. Es mucho más complicado, pero a grandes rasgos en lugar de subdividir el intervalo de integración se subdivide el rango de la función integrada en pequeños subintervalos, y luego se suman áreas de "rectángulos" cuyas bases son conjuntos donde la función toma valores de ellos. Si el límite existe se llama integral de Lebesgue, y la función se llama integrable de Lebesgue. Toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue, pero no a la inversa. Además, los conjuntos de bases implicados pueden ser muy complicados, y toda una Teoría de las medidas de Lebesgue tiene que ser desarrollado primero para averiguar sus "longitudes".

Otra forma de definir la integral, denominada Daniell integral es aproximar las funciones generales por algunas funciones "elementales", cuyas integrales son fáciles de calcular como con funciones de paso o ya están definidos por alguna otra construcción, la de Riemann por ejemplo. La integral se define como el límite de integrales de funciones "elementales" aproximadas. La integral de Daniell es equivalente a la integral de Lebesgue en el sentido de que las mismas funciones son integrables, y los valores de las integrales son los mismos. Pero no requiere desarrollar previamente la teoría de la medida. Existe una versión más débil pero más sencilla de la integral de Daniell llamada integral regulado .

También hay otras construcciones más complicadas como Integral Henstock-Kurzweil que es aún más general que la integral de Lebesgue, Integral de Darboux etc., pero son variaciones de las tres ideas descritas anteriormente.

Answer 2

Una intuición (quizás idiosincrática) que tengo sobre la integración proviene del movimiento. Supongamos que sabemos cómo rápido alguien está pasando por un rango de tiempos; en ese caso podemos calcular cómo lejos fueron. Intuitivamente, se podría decir que se toman muchas estimaciones de velocidad $times$ distancia en diferentes momentos y sumarlos. Pero matemáticamente lo que estás haciendo es integrar la velocidad para obtener la distancia.

También se puede ir en sentido contrario: Si la velocidad en sí misma está cambiando, entonces podemos utilizar la aceleración (la tasa de cambio de la velocidad) para encontrar cuánto cambia la velocidad en un intervalo de tiempo determinado.

La forma en que me gusta explicar esto a los estudiantes de física de introducción: El cálculo integral es una máquina para convertir la información de tiempos anteriores (dónde estaban, a qué velocidad se movían) en información de tiempos futuros. Toma la aceleración y escupe la velocidad y la posición.