Se sabe que la variedad tórica $X_\Sigma$ de un abanico simplicial $\Sigma$ puede construirse como un cociente $$X_\Sigma = \bigl(\mathbb C^N \setminus V(B)\bigr)/G.$$ Aquí $N$ es el número de rayos, $B$ es el ideal irrelevante y $G$ es un determinado subgrupo del gran toro $(\mathbb C^\ast)^N$ .
Supongamos que $\Sigma$ es un abanico normal de un politopo. Entonces también se sabe que
(*) $\mathbb C^N \setminus V(B)$ es el complemento de la unión de conjuntos de codimensión (compleja) al menos $2$ .
Preguntas:
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He oído (en varios lugares) que el hecho (*) implica que $\mathbb C^N \setminus V(B)$ está simplemente conectada. ¿Cómo podemos demostrarlo?
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¿Podemos ver que $\pi_2(\mathbb C^N \setminus V(B))$ ¿también desaparece?
Notas:
- Seguimos la notación de Notas de la conferencia de Cox . (Conferencias sobre variedades tóricas)
- Si $X_\Sigma$ es suave, podemos ver que $\pi_2(\mathbb C^N \setminus V(B))=0$ : Desde $A_{n-1}(X_\Sigma) = H_{2n-2}(X_\Sigma) \cong H^2(X_\Sigma)$ es un grupo abeliano libre de rango $b$ , $G=\mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(A_{n-1}(X_\Sigma),\mathbb C^*)$ es un toro complejo de dimensión $b$ . La secuencia exacta larga de homotopía nos da una secuencia exacta corta de grupos abelianos libres $0\to\pi_2(\mathbb C^N \setminus V(B))\to\pi_2(X_\Sigma)\to\pi_2(BG)\to0$ . Desde $X_\Sigma$ es $\pi_2(X_\Sigma)$ es también un grupo abeliano libre de rango $b$ ( $\because$ Teorema de Hurewicz), el homomorfismo $\pi_2(X_\Sigma) \to \pi_2(BG)$ es un isomorfismo.
- Estoy buscando una prueba directa de la conexión 2 del subconjunto abierto de Zariski $\mathbb C^N \setminus V(B)$ . Porque si tenemos tal prueba, entonces podemos usarla para calcular algunos grupos de homotopía (y grupos de cohomología) a la inversa.
- Por favor, no utilice la construcción de pegado de variedades tóricas.
