Mostrar que $|\det(A_n)|=n^{n/2}$

Question

Para k $\ge2$ podemos definir de forma recursiva $A_{2^k}$ as $\begin{bmatrix} A_{2^{k-1}} & A_{2^{k-1}} \\ A_{2^{k-1}} & -A_{2^{k-1}} \end{bmatrix}$ e $A_1=[1]$

El problema es demostrar que el $|\det(A_n)|=n^{n/2}$

Mi intento: hacemos una inducción en $k$

$|\det(A_2)|=2=2^{2/2}$. Inducción de la hipótesis: $|\det(A_{n})|=n^{n/2}$ y queremos demostrar que las $|\det(A_{2n})|=(2n)^n$

el uso de bloque de las propiedades de la matriz

$|\det(A_{2n})|=|\det(\begin{bmatrix} A_{n} & A_{n} \\ A_{n} & -A_{n} \end{bmatrix})|=|\det(-A)\det(A+AA^{-1}A)|=|2^n\det(A_n)^2|=|2^nn^n|=(2n)^n$

Puede alguno de confirmar que no hay defectos en el razonamiento, por favor?

Answer 1

La prueba se ve bien.

Alternativamente, para la inducción de paso, aviso que $$ \begin{vmatrix} A_n & A_n \\ A_n & -A_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_n & A_n \\ 0 & -2A_n \end{vmatrix}, $$ desde $$ \begin{bmatrix} A_n & A_n \\ A_n & -A_n \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} A_n & A_n \\ 0 & -2A_n \end{bmatrix} $$ (el símbolo $`\sim'$ denota la fila equivalente).

Por lo tanto, $|A_{2n}| = |A_n||-2A_n| = n^{n/2}(-2)^n n^{n/2} = 2^n n^n = (2n)^{2n/2}$.