Tengo entendido que la definición de grupo de automorphism y se han estudiado varios ejemplos de la misma. Pero ¿cuál es la importancia de un automorphism? Cuando estudiamos isomorphisms, tratamos de investigar cómo es similar a un grupo a otro grupo. ¿Qué obtenemos de establecer isomorphisms de un grupo a sí mismo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un automorphism sobre una estructura que describe una simetría en la que la estructura de la forma en la que ciertos elementos de la estructura desempeñar idénticas funciones dentro de la estructura.
Por ejemplo, un gráfico de isomorfismo es un bijection entre los conjuntos de nodos de dos gráficas que $x$ e $y$ son adyacentes (tiene una arista que los conecta) si y sólo si $f(x)$ e $f(y)$ son adyacentes. Esto significa que los dos gráficos son realmente el mismo gráfico (que puede ser hecho para parecer idénticos si están dibujados en el camino correcto).
Ahora mira este gráfico:
Estoy seguro de que usted entiende lo que quiero decir si yo dijera que los vértices 5, 6, 8 y 9 de todos "juegan el mismo papel" en el gráfico. Vértices 0 y 2 también "juegan el mismo papel". Pero los vértices 5 y 1 juega un papel muy diferente, que no caben en el gráfico de manera idéntica (por ejemplo, 5 tiene un vecino, mientras que 1 tiene dos). Esto es debido a la evidente simetrías que existen en este gráfico, correspondiente a los dos automorfismos de la gráfica dada por:
$f$ tal que $f(5)=6, f(6)=5, f(1)=3, f(3)=1, f(8)=f(9)$, e $f(x)=x$ para todos los otros nodos.
$g$ tal que $g(5)=8, g(8)=5, g(4)=7, g(7)=4, g(0)=2,g(2)=0, g(6)=9, g(9)=6$, e $g(x)=x$ para todos los otros nodos.
El hecho de que el 5 y el 1 no no juegan el mismo papel se corresponde con el hecho de que no hay automorphism asignación de 5 a 1 o viceversa.
Sean Haight
Puntos
41
Para mí la mejor motivación para el estudio del grupo de automorfismos es su aplicación a los semi-productos directos. Por ejemplo, en la clasificación de los grupos de orden $pq$ para distintos números primos $p$ e $q$, puede utilizar los teoremas de Sylow para mostrar que $G$ es semi-producto directo de la $C_p$ e $C_q$. Conocer la estructura de $\text{Aut}(C_p)$ es crucial en la demostración de que, en realidad, es sólo uno de los no-Abelian semi-producto directo de la $C_p$ e $C_q$ hasta el isomorfismo. En general, cuando se trata de clasificar a los grupos de un determinado orden comprensión semi-directa de productos puede ser muy útil. Para ello, primero debemos entender automorphism grupos.
