Las curvas que minimizan la longitud son segmentos geodésicos

Question

Tengo un espacio métrico $(X,d)$ , a arco geodésico se define como una función continua $\gamma : [a,b] \rightarrow X$ , $a < b$ que preserva (globalmente) la distancia y segmentos geodésicos se definen como imágenes de arcos geodésicos.

Dada una curva cualquiera (se supone la continuidad) $\gamma: [a,b] \rightarrow X$ y una partición $P$ $$a = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = b$$ de $[a,b]$ definir $$\ell(\gamma,P) = \sum_{i=1}^m d(\gamma(t_{i-1}),\gamma(t_i))$$ y definimos la longitud de $\gamma$ , denotado por $|\gamma|$ y que puede ser infinita, para ser la suma de todas estas sumas para las particiones $P$ .

Porque $a < b$ constituye una partición de $[a,b]$ , $|\gamma| \ge d(\gamma(a),\gamma(b))$ .

Finalmente lo que quiero demostrar es lo siguiente:

Dejemos que $\gamma : [a,b] \rightarrow X$ sea una curva de $x$ a $y$ en $X$ con $x \neq y$ . Entonces $|\gamma| = d(x,y)$ si y sólo si $\gamma$ mapas $[a,b]$ en un segmento geodésico que une $x$ a $y$ y $d(x,\gamma(t))$ es una función creciente de $t$ .

No tengo ninguna de las dos direcciones completamente, lo que tengo, mis pensamientos en general y algunos apuntes son:

• Para la dirección de avance, que $|\gamma| = d(x,y)$ es lo mismo que decir que la igualdad se mantiene en la desigualdad del triángulo para cualquier partición de $[a,b]$ Puedo demostrar que lo mismo es válido para cualquier restricción de $\gamma$ y luego usando esto puedo demostrar que $d(x,\gamma(t))$ está aumentando. Pensé que tal vez podría considerar la reparametrización de $\gamma$ se consigue mediante un mapeo afín $[a,b]$ a $[0,d(x,y)]$ con la esperanza de que esto me dé un arco geodésico, pero no he llegado a ninguna parte con esto.

• Para la dirección opuesta he pasado mucho menos tiempo pensando en ello y no tengo nada por el momento.

• Un dato útil podría ser que si $[x,y]$ y $[y,z]$ son segmentos geodésicos que unen $x$ a $y$ y $y$ a $z$ respectivamente, $[x,y] \cup [y,z]$ es un segmento geodésico que une $x$ a $z$ si y sólo si $$d(x,y)+d(y,z)=d(x,z).$$

• Esto es de los Fundamentos de las Múltiples Hiperbólicas de John G. Ratcliffe, Sección 1.5.

Gracias.

Answer 1

Primero resumiré la cuestión utilizando más definiciones, para facilitar el debate:

Curvas y longitudes

(1) Curvas son funciones continuas desde un intervalo de reales hacia el espacio métrico.

(2) A trayectoria poligonal es una secuencia de puntos ( vértices ) en el espacio métrico.

(3) El longitud de una trayectoria poligonal es la suma de las distancias punto a punto que van de vértice a vértice a lo largo de la trayectoria poligonal.

(4) El longitud de una curva es el sumo sobre las longitudes de las trayectorias poligonales que tienen vértices en orden a lo largo de la curva.

(5) A camino más corto es una curva cuya longitud es igual a la distancia entre sus puntos extremos.

Geodésica

(6) A arco geodésico es una curva que preserva la distancia.

(7) A segmento geodésico es el alcance (en el espacio métrico) de un arco geodésico.

(8) Un viaje de ida es una curva cuya distancia al punto de partida no es decreciente.

(9) A viaje geodésico es un viaje hacia el exterior cuyo alcance es un segmento geodésico.

El problema:

                 Demuestra que un viaje geodésico es igual a un camino más corto.

Prueba

Para demostrar que todo viaje geodésico es un camino más corto En el caso de las geodésicas, tenemos que demostrar que su longitud es igual a la distancia entre sus puntos finales.

Un viaje geodésico $\beta$ por definición, corresponde a algún arco geodésico $\gamma$ , de hecho, por un reajuste débilmente monótono del argumento de la función (correspondiente a la distancia recorrida en el viaje de ida). Nótese que $\beta$ y $\gamma$ tienen la misma longitud.

Cualquier arco geodésico es claramente un camino más corto, ya que todos los caminos poligonales que van de extremo a extremo tienen, de hecho, la misma longitud, por lo que el supremum es trivial.

Dado que el arco geodésico $\gamma$ es un camino más corto, su longitud es igual a la distancia entre sus puntos finales. Dado que $\beta$ tiene los mismos puntos finales y la misma longitud, por lo que también es un camino más corto.

Para demostrar que todo camino más corto es un viaje geodésico En primer lugar, demostraremos que todo camino más corto es un viaje hacia el exterior.

En efecto, si una curva $\gamma$ que va desde $A$ a $B$ no es un viaje de ida, entonces debe pasar por un punto $X$ y luego $Y$ , donde $X$ está estrictamente más lejos de $A$ que $Y$ es. Esto significa que la trayectoria poligonal $AXYB$ es estrictamente más larga que la trayectoria poligonal $AYB$ que a su vez es como mínimo la distancia entre $A$ y $B$ por la desigualdad del triángulo. Por lo tanto, cualquier curva $\gamma$ que no es un viaje de ida tampoco es un camino más corto.

Sólo queda demostrar que el alcance de cualquier camino más corto $\delta$ es un segmento geodésico.

Para ello, tenemos que demostrar que existe un arco geodésico que tiene el mismo rango que $\delta$ .

Para cada punto de $\delta$ consideramos su distancia al punto de partida. Gracias a la continuidad de las curvas, toda distancia desde $0$ a la longitud $|\delta|$ de $\delta$ debe ocurrir para algún punto de $\delta$ . Esto proporciona un mapeo $\rho$ de $[0,|\delta|]$ en el dominio de $\delta$ .

Gracias a $\delta$ siendo un viaje de ida, y el hecho de que la distancia $XY$ en un espacio métrico sólo es cero cuando $X=Y$ vemos que el mapeo $\rho$ es continua y tiene el mismo rango que $\delta$ .

Todo lo que queda, para demostrar que $\rho$ es el arco geodésico que buscamos, es demostrar que $\rho$ es preservador de la distancia.

Considere dos puntos, $X=\rho(x)$ y $Y=\rho(y)$ con $x<y$ . Sea $A=\rho(0)$ y $B=\rho(|\delta|)$ sean los puntos finales de $\delta$ (y de $\rho$ ). Para demostrar que $\rho$ es preservadora de la distancia, queremos demostrar que la distancia $XY$ viene dada por $y-x$ . Desde $\delta$ es un camino más corto, todas las longitudes de los caminos poligonales a lo largo de $\delta$ deben tener la misma longitud, es decir, la distancia $AB$ Así que, en particular $AX+XY+YB=AY+YB$ En otras palabras $x+XY+YB=y+YB$ , dando como resultado $XY=y-x$ .

Así que hemos terminado: $\rho$ es un arco geodésico con el mismo alcance que el camino más corto $\delta$ , demostrando que $\delta$ que como vimos debe ser un viaje hacia el exterior, es efectivamente un viaje geodésico.