¿Demostración de la ley distributiva en la implicación?

Question

Estoy haciendo un examen de práctica y en él está la siguiente pregunta:

Demuestre sin tablas de verdad que la siguiente equivalencia lógica es válida:

$$(p q) (p r) p (q r)$$

Intenté sustituir el lado izquierdo $(p \rightarrow q)$ y luego aplicar las leyes distributivas, pero lo que obtuve como resultado fue terriblemente largo y desordenado.

He encontrado un ejemplo de prueba aquí . Sin embargo, se trata de una prueba que utiliza el método de la tabla de deducción natural y que todavía no hemos tratado en clase.

¿Existe una prueba más sencilla?

Gracias.

Answer 1

Utilice la equivalencia $\quad a \rightarrow b \equiv \lnot a \lor b\tag{1}\;$

para transformar las implicaciones en disyunciones,

entonces usa una de las leyes distributivas que conoces $(2)$ :

$$\begin{align}(p q) (p r) &\equiv (\lnot p \lor q) \land (\lnot p \lor r)\tag{by (1)}\\ \\ & \equiv \lnot p \lor (q\land r)\tag{by (2)} \\ \\ & \equiv p \rightarrow (q \land r)\tag{by (1)}\end{align}$$