Posibles Duplicados:
La prueba de que si la mayor momento existe, entonces el inferior, momento en que también existePara una variable aleatoria $X$, digamos que conozco a $E[X^k]$ es finito y sé que $E[X]$ es finito. Puedo decir que todos los momentos entre la primera y la kth momento son finitos?
Respuesta
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Sí. De hecho, usted incluso no necesita saber que $E[X]$ es finito: si usted sabe que el $k$-ésimo momento $E[X^k]$ es finito, entonces todos los niveles inferiores de los momentos debe ser finito.
Usted puede ver esta usando la desigualdad de Jensen, que dice que para cualquier función convexa $\varphi$ y la variable aleatoria $X$, $$\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)].$$ Ahora, supongamos que sabemos que $E[X^k]$ es finito, y queremos comprobar si $E[X^m]$ es finito donde $m < k$. Deje $\varphi(X) = X^{k/m}$. Desde $k>m$, esta es una función convexa. Entonces, por la desigualdad de Jensen, $$(E[X^m])^{k/m} \leq E[(X^m)^{k/m}] = E[X^k].$$ Sabemos que $E[X^k]$ es finito, por lo $(E[X^m])^{k/m}$ también debe ser finito, y por lo $E[X^m]$ es finito.
En resumen: dado que el $k$-ésimo momento es finito, todo menor momentos también debe ser finito.
