Tengo un esquema afín que es finito tipo más de $\mathbb{Z}$, por lo que, por definición, puedo cubrir esta Especificación $A$ por Espec $B_i \ (1 \leq i \leq n)$ donde cada una de las $B_i$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$ álgebra. He utilizado el hecho de que la Especificación $A$ es cuasi compactar para que podamos cubrir Espec $A$ por número finito de estos afín abre conjuntos. ¿Es entonces que siga $A$ es también un finitely generadas $\mathbb{Z}$ álgebra? Gracias!
Respuesta
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La afirmación es verdadera. No hay nada específico para $\mathbb Z$ en la prueba. Funciona para cualquier anillo de $B$.
Supongamos $\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \Spec A$ tiene afín abra la cubierta de la forma $\{\Spec A_i\}$ donde cada una de las $A_i$ es un finitely generadas $B$-álgebra. A continuación, podemos cubrir la $\Spec A$ básica abrir los subconjuntos de la forma $\Spec A_{f_{ij}} = \Spec (A_i)_{g_{ij}}$ donde $f_{ij} \in A$ e $g_{ij} \in A_i$. Desde $\Spec A$ es cuasi-compacto, podemos encontrar un número finito de subcover $\{\Spec A_{h_1}, \ldots, \Spec A_{h_n}\}$.
Hemos reducido esta prueba a un problema de álgebra conmutativa: Si $A$ es $B$-álgebra que $(h_1, \ldots, h_n) = A$ y cada una de las $A_{h_i}$ es un finitely generadas $B$-álgebra, a continuación, $A$ es un finitely generadas $B$-álgebra. Para probar esto, deje $\{a_{i1}, \ldots, a_{im_i}, 1/h_i\}$ ser generadores de $A_{h_i}$ como $B$-álgebra, donde $a_{i1}, \ldots, a_{im_i} \in A$. Está claro que siempre podemos escoger los generadores de este formulario. Deje $a \in A$. Para cada una de las $i$, la imagen de $a$ en $A_{h_i}$ tiene la forma $p_i / h_i^{r_i}$ para algunos $p_i$ generado por $\{a_{i1}, \ldots, a_{im_i}\}$. De ello se desprende que $h_i^{s_i}(h_i^{r_i}a - p_i) = 0$ para algunos $s_i$. Deje $M = \max_i (r_i + s_i)$. Desde $(h_1, \ldots, h_n) = A$, también tenemos $(h_1^M, \ldots, h_n^M) = A$. Por lo tanto, $1 = \sum_{i=1}^n q_i h_i^M$ para algunos $q_i \in A$. Tenemos $$ a = \sum_{i=1}^n un q_i h_i^M = \sum_{i=1}^n q_i h_i^{M - r_i} p_i. $$
Desde cada una de las $p_i$ es generado por $\{a_{i1}, \ldots, a_{im_i}\}$ e $a$ arbitrarias, se deduce que el $A$ es un finitely generadas $B$-álgebra.
