Cómo resolver enlazados a los estados de 2D finito plaza rectangular bien?

Question

Quiero resolver enlazados a los estados (de hecho, solo el estado base es necesario) de tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger con un 2D finito plaza rectangular bien \begin{equation}V(x,y)=\cases{0,&%#%#% \\ V_0,&\text{otherwise}}.\tag{1}\end{equation} $ |x|\le a \text{ and } |y|\le b$$ A primera vista, este problema es simple. Parece que la solución es de variables separables y puede ser escrito como $$\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x^2+\partial_y^2)+V(x,y)\Big]\psi(x,y)=E\psi(x,y)$. Entonces $\psi(x,y)=f(x)g(y)$$ Deje $$ \frac{f''(x)}{f(x)}+\frac{g''(y)}{g(y)}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)=0.$$E=E_x+E_y$, entonces el problema se reduce a dos 1D problemas $V=V_x+V_y$$

Sin embargo, la forma de determinar $$\cases{f''(x)+\frac{2m}{\hbar^2}(E_x-V_x)f(x)=0\\g''(y)+\frac{2m}{\hbar^2}(E_y-V_y)g(y)=0}.$ $V_x$ en el espacio 2D? Definitivamente un mal método está haciendo $V_y$|x|\le a$$ V_x=\cases{0,&$|x|>a$\\V_1,&$|y|\le b$}\text{ and }V_y=\cases{0,&$|y|>b$\\V_2,&$$ De hecho, el potencial de Eq. (2) es equivalente a dos independientes "1D finito plaza de bien" problemas en $}\tag{2}.$ $x$ dirección respectivamente. Sin embargo, un cuidadoso lector se dará cuenta de que el potencial de Eq(2) es DIFERENTE de Eq(1), lo que significa que el potencial de Eq(2) NO es lo que queremos. No es rectangular bien, pero como los siguientes .

Entonces, me parece que una variable separable obligado estado para finitos 2D plaza bien no existe. A pesar de que las soluciones analíticas existentes en cada región con un potencial constante, los problemas ocurren cuando la coincidencia de las condiciones de contorno para mantener la continuidad de $y$. A diferencia de la coincidencia de condición de frontera en descrete puntos en 1D, 2D tenemos para que coincida con las condiciones de contorno a lo largo de las líneas, por ejemplo,, $\psi(x,y)$$$ f_1(a)g_1(y)=f_2(a)g_2(y)$ x<a$ in the boundary between $x>un$(region 1) and $$ (region 2). This leads to $$ La coincidencia de todos los límites de esta forma de llevar a ese $ g_1(y)/g_2(y)=f_2(a)/f_1(a)=constant.$ tiene que ser 0 fuera de el. Pero este cronsponds para el caso de INFINITO. No es la solución de finito. Entonces creo que no existen soluciones en virtud de la separación de la variable del método.

Entonces, la pregunta es, más allá de separar-variable método, ¿cómo resolver este problema?

Por CIERTO: ¿alguien sabe de qué tipo (forma) de 2D bien es solucionable a la envolvente de los estados y cómo? (Potencial con simetría circular está excluido, porque sé cómo resolverlo. Quiero encontrar otra forma de 2D así que es solucionable.)

Answer 1

Creo que este problema es similar al problema de encontrar modos de rectangular guía de onda dieléctrica. En este caso, puede utilizar el efectivo-método de índice para encontrar la solución aproximada (Para su problema, nos puede llamar de efectivo-método potencial). Para obtener más información acerca de efectivo-método de índice, consulte los artículos siguientes:

• Efectivo-análisis de índice de guías de ondas ópticas: Enlace

• Análisis integrado de guías de ondas ópticas: método variacional y efectivo-método de índice con construido-en la perturbación de corrección: Enlace

La base de este método es que el modo de una guía de onda puede ser separado en los productos de dos funciones, una en $x$ dirección la cual es dependiente sólo en $x$ y una en $y$ dirección la cual es dependiente sólo en $y$. Estos pueden ser resueltos de forma independiente y se combinan para producir el modo de la estructura. De esta manera, el 2D estructura de guía de ondas pueden ser separados en dos estructuras simples, uno que es un paso índice de la guía de onda planar en $x$ dirección y otros en $y$ dirección. De hecho, este es el mismo como su sugerencia para la introducción de $V_x$$V_y$, pero de una manera especial que la solución es muy cerrado a la solución exacta

Answer 2

Hasta ahora, la única cosa que puedo estar seguro es de que no hay una solución de la forma $\psi(x,y)=g(y)f(x)$, lo que llevaría a una contradicción evidente:

Si tenemos una solución de $\psi(x,y)==f(x)g(y)$, denotan $\frac{f''}{f}=F(x),\frac{g''}{g}=G(y)$, Para cualquier fijo x<-a, F(x)+G(y)=constante requiere que G(y) es constante, del mismo modo, fija y<-b, requiere de F(x) es constante, pero F(x)+G(y) no es constante en todo el plano x-y , por lo tanto =><=.

Answer 3

Bueno, si estoy en lo correcto, entonces este problema no tiene solución, al menos no finito analítica. Y por cierto. el problema es más general de lo que uno podría pensar. Buscar en el cuadrante superior derecho ( $x\gt0$ $y\gt0$ ). A continuación, las condiciones de frontera son la simetría de las condiciones de contorno (producto escalar del vector normal y el gradiente de la solución es igual a cero en$x=0$$y=0$). Además, en x=a y x=b, la solución debe ser continua (y el gradiente, también, pero esto no es importante). Y, por supuesto, la solución debe desaparecer en el infinito. Estos límites de generar cuatro regiones: 0 - ($0\lt x \lt a, 0\lt y\lt b$), 1 - ($0\lt x\lt a, y\gt b$), 2 - ($x\gt a, 0\lt y\lt b$), y 3 - ($x\gt a, y\gt b$). En cada una de estas regiones, la solución es separable, como usted ha dicho correctamente. La ecuación de Schrödinger ahora hace la declaración general. El total de la curvatura en cada región es una suma de dos curvaturas a lo largo de los respectivos cartesiano dirección. $B_i^2=B_{i,x}^2+B_{i,y}^2$ $i=0,1,2,3$. Así, se tienen cuatro ecuaciones para ocho curvaturas. Otra de las cuatro ecuaciones se agrega si uso la continuidad de las condiciones de contorno. Es decir, a lo largo de las fronteras, el paralelo curvaturas en las regiones adyacentes deben ser iguales. Por ejemplo, entre la región 0 y 1, $B_{0,x}^2=B_{1,x}^2$, etc. Esto, en total le da una ecuación lineal con un 8 por 8 metros de la matriz, y un lado derecho (RHS) vector que contiene sólo el total de las curvaturas $B_i^2$. Primero de todo, esta matriz es exactamente singular (es decir, no tiene el rango completo). Tener no trivial solución, usted tiene que tomar el lado derecho de la misma clasificación. Esto le da una condición para el total de la curvatura (que están relacionados con el potencial y el autovalor). Y esta condición es que la curvatura debe ser el mismo. Essentally, esto significa que el potencial es cero en todas partes - una clara contradicción a lo que queríamos. Por favor, pruebe este enfoque y me informan sus resultados, como yo podría estar equivocado, como he comentado al principio ;)